THERMODYNAMIQUE DE PCSI

Alain Robichon

Description

Niveau: Supérieur
THERMODYNAMIQUE DE PCSI. Page 1 sur 7 RAPPELS ET COMPLÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE. I. Ce que vous ne pouvez pas deviner. 1°) Définitions et notations. Les notations : ? Les grandeurs extensives sont notées en MAJUSCULE : X. ? On note en minuscule la grandeur massique associée : x. La grandeur molaire est notée : Xm (elle a comme x un caractère intensif). Paramètres d'état ; coefficients thermoélastiques : L'état d'équilibre d'un système thermodynamique est décrit par un certain nombre de variables ma- croscopiques ou paramètres d'état. Par exemple, les fluides sont caractérisés par les trois paramètres : pression (P), volume (V) et température (T), d'où le nom de « systèmes PVT » souvent donné aux fluides. Les paramètres d'état ne sont pas indépendants entre eux car ils sont reliés par une équation d'état, dont la forme dépend du fluide étudié. On caractérise la dilatation et la compressibilité d'un fluide par des coefficients thermo-élastiques, dont trois sont à connaître : ? Coefficient de dilatation volumique à pression constante : 1 P V V T? ?? ?? ? ??? ? . ? Coefficient de compressibilité isotherme : 1 T T V V P? ?? ?? ? ? ??? ? ? Coefficient de compressibilité isentropique : 1 S S V V P? ?? ?? ? ? ??? ? Système isolé : Un système est dit isolé s'il ne peut échanger ni matière, ni énergie (travail ou transfert thermique) avec le milieu extérieur

• cycle de carnot


• machines thermiques


• joule gay


• ditherme tota- lement réversible


• gaz parfait

Sujets

• Cycle de Carnot
• Machine thermique
• Gaz parfait

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Extrait

THERMODYNAMIQUE DE PCSI.

RAPPELS ET COMPLÉMENTS DE THERMODYNAMIQUE.

I. Ce que vous ne pouvez pas deviner. 1°) Définitions et notations. Les notations : Les grandeursextensivessont notées enMAJUSCULE:X. On note enminusculela grandeurmassiqueassociée :x.  La grandeurmolaireest notée :X(elle a commexun caractère intensif). m Paramètres d’état; coefficients thermoélastiques : L’état d’équilibre d’un système thermodynamique est décrit par un certain nombre de variables ma- croscopiques ouparamètres d’état.  Par exemple, les fluides sont caractérisés par les trois paramètres : pression (P), volume (V) et température (T), d’où le nom de «systèmes PVT» souvent donné aux fluides. Les paramètres d’état ne sont pas indépendants entre eux car ils sont reliés par uneéquation d’état, dont la forme dépend du fluide étudié. On caractérise la dilatation et la compressibilité d’un fluide par des coefficients thermo-élastiques, dont trois sont à connaître :

Coefficient de dilatation volumique à pression constante:

Coefficient de compressibilité isotherme:

.

Coefficient de compressibilité isentropique: Système isolé : Un système est ditisolés’il ne peut échangerni matière,ni énergie(travail ou transfert thermique) avec le milieu extérieur. 2°) Les principes de la Thermodynamique. Le principe zéro : Deux systèmes en équilibre thermique avec un troisième sont en équilibre thermique entre eux.

Le principe zéro permet de définir latempératured'un système, par le fait qu’elle est égale à celle d’un gaz parfait avec lequel il est en équilibre thermique. er Le 1 principe : La variation de l'énergie totale d'un système fermé évoluant d'un état 1 vers un état 2 est la somme des travaux et des quantités de chaleur reçues du milieu exté- rieur : .

Le premier principe postule l’existence la fonction d’état:énergie interne U. L’énergie interne s’exprime dans le système international en. Rappel sur les expressions du travail des forces de pression :  Travail élémentaire dû aux forces pressantes :  Cas d'une évolutionquasi-statique(mécaniquement réversible) :

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.

.

THERMODYNAMIQUE DE PCSI. Fonction d’étatenthalpie H. A partir de l’énergie interne U et des paramètres P et V on construit une nou- velle fonction d’état, appeléeenthalpie., définie comme : Capacités thermiques (ou calorifiques) :

On définit :

et

lacapacité thermique à volume constant C: V

lacapacité thermique à pression constante C: P

;

.

Le deuxième principe : Tout système fermé est caractérisé par une fonction d'état extensive S appelée entropie dont la différentielle est: , où , l'égalité ayant lieu pour une évolution réversible. Le deuxième principe postule l’existence d’une nouvelle fonction d’état,l’entropie. L’entropie s’exprime dans le sy.stème international en

Expression de l’entropie d'échange :

 où T est la température de contact contact

entre le système et la source extérieure. Interprétation statistique de l’entropie: Cette interp rétation est due àBoltzmannqui a postulé l’expressionoù: , le est nombre d’états microscopiques différents décrivant l’état macroscopique considéré. ème Le 2 principe implique quel’entropie d’un système isolé ne peut que croître et qu’elle est maximale à l’équilibre.

ème principe (ou principe de Nernst) :Le 3 L'entropie de tout corps pur cristallisé tend vers 0 quand la température tend vers 0 Kelvin.

Les identités thermodynamiques fondamentales pour les systèmes PVT : er ème Les formulations différentielles du 1 et du 2 principe conduisent aux deux identités, va- lablespour un système PVT fermé: ère  1 identit é thermodynamique : 2ème identit é thermodynamique : 3°) Cas des phases condensées (solides ou liquides).  On considère le plus souvent ces phases comme incompressibles et indilatables, dont on suppose le volume V indépendant de P et de T : alorsU et H ne dépendent que de Tet on a : , en confondant C et C pour une phase condensée. V P 4°) Le modèle du gaz parfait. Gaz parfait : Un gaz parfait est un gaz constitué de molécules ponctuelles et sans interactions entre elles, sauf lors des chocs.

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Pour une évolutionisentropiqued’un gazparfaitàconstant:

.

, ou Ces expressions conduisent auxformules de Laplace:

Entropie du gaz parfait :

chaque molécule. On en déduit la conversion : Remarque :  On utilise aussicomme unité d’énergie lekilowatt-heure, oukWh. Équation d’état:les paramètres macroscopiques d’état sont liés entre eux parl’équation: ,  où P est la pression du gaz, V son volume, n le nombre de moles et T la température absolue. Les fonctions d’état du gaz parfait: Énergie interne et enthalpie :

Les paramètres d’état :

Relation de Mayer :

, où m est la masse d’une molécule, n* le nombre

Pour le gaz parfaitmonoatomique:

Où k est la constante de Boltzmann : . B La température ainsi définie est ditetempérature absolueet s’exprime enkelvin(K).

La dimension de Le terme

blit que

, ou

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A partir des identités thermodynamiques, on établit que :

, où E est une énergie associée à

ère ème Pour un gaz parfaitquelconqueet 2 loi de Joule).: U et H ne dépendent que de T (1 On peut écrire : et .

,

trouve dans le facteur de Boltzmann :

.

THERMODYNAMIQUE DE PCSI.

Vitesse quadratique moyenne v*:(il s’agit d’une grandeur efficace). Pression dans un fluide : Dans un gaz parfait, la pression est due aux chocs sur les parois. On éta-

.

En notant

On définit la température d’un gaz parfait monoatomique par :

, on a :

.

est appelé énergie d’agitation thermique: c’est celui qu’on re-

montre qu’on peut exprimer une température en Joule !

et

.

de molécules par mètre cube et v* leur vitesse quadratique moyenne. Température :

et

THERMODYNAMIQUE DE PCSI. II.Ce qu’il faut retenir. 1°) Les machines thermiques. On appellemachine thermiquetout dispositif convertissant ou transférant del’énergie. Ces machines fonc- tionnent par cycles.  La machine est dite :monothermesi elle échange de la chaleur avecune seule source, dithermesi elle échange de la chaleur avecdeux sources. (S’il existe plus de deux sources, on parle de machine polytherme). On distingue : lesmachines motrices:moteurs thermiques, qui fournissent du travail au milieu extérieur lesmachines réceptrices:pompes à chaleurs, réfrigérateurs, climatiseurs, qui reçoivent du travail pour transférer de la chaleur. Rendement et efficacité (ou coefficient de performance) :  Pour unemachine motrice, on définit sonrendement thermodynamique:

, avec un signe (-) car

.

Pour unemachine réceptrice, on définit sonefficacitéoucoefficient de performance:

.

Un rendement thermodynamique est toujours inférieur à l’unité, alors

qu’une efficacité est toujours supérieure à l’unité. Inégalité de Clausius : Pour une machine polytherme recevant sur un cycle les quantités de chaleur Q i

des différentes sources aux températures T , on a i

, l’égalité n’ayant lieu

que si le cycle est entièrement réversible. Démonstration : Cette inégalité est une conséquence directe du second principe. La variation d’entropie du système thermodynamique (la machine) surun cycle est nulle car S est une fonction d’état.

Par ailleurs :

, avec

dans le cas d’une machine en contact

avec N thermostats aux températures T . i Sans savoir calculer directement l’entropie de création, le second principe assure toutefois que : , l’égalité n’ayant lieu que pour une évolution réversible.D’où l’inégalité de Clausius. Théorème de Carnot : Le rendement ou l’efficacité d’une machine thermique réelle est toujours infé- rieur ou égal à celui d’une machine idéale totalement réversible, c'est-à-direne pré- sentant aucune cause d’irréversibilité interne ou externe. Les causes d’irréversibilité: irréversibilités internes: frottements internes de typesolideniveau des parties mobiles) ou (au visqueux(au niveau des contacts fluide–parois). irréversibilités externes: existence d’unflux thermique entre le système et l’extérieur (par rayonnement, conduction ou convection), lié à un écart de température fini entre le système et l’extérieur en cas d’échange thermique.

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THERMODYNAMIQUE DE PCSI. 2°) Un cycle parfait : le cycle de Carnot. Le cycle de Carnot : Compte tenu des différentes causes d’irréversibilité, le seul cycle ditherme tota- lement réversible est lecycle de Carnot, constitué dedeux adiabatiques réver- sibles séparées par deux isothermes réversibles. Allure du cycle de Carnot pour un gaz parfait : P  Dans le diagramme p(V), une isentropique a une pente pus forte qu’une isotherme (le rapport vaut T C S=cste Le cycle estmoteurs’il est décrit dans lesens horaire. S=cste etrécepteursi décrit dans le senstrigonométrique di- T F rect. V Rendement et efficacité de Carnot : Lerendement d’un moteur de Carnotditherme fonctionnant entre une source chaude

à T et une source froide à T est : c f

.

L’efficacité d’un réfrigérateur de Carnotfonctionnant entre une source ditherme

chaude à T et une source froide à T est : c f

.

L’efficacité d’une pompe à chaleur de Carnotditherme fonctionnant entre une source

chaude à T et une source froide à T est : c f

.

3°) Détentes des gaz. a)Détente dans le vide (ou détente de JOULE GAY-LUSSAC). è  Ce type de détente a été utilisé au XIX siècle par Joule, Gay-Lussac et Hirn pour étudier les pro- priétés des gaz réels. Le gaz à étudier est enfermé dans un récipient . Un robinet fait robinet communiquer avec un autre récipient dans lequel on a fait le gaz vide. Les parois sont rigides et calorifugées le mieux possible.  Initialement, le robinet est fermé, le compartiment de gauche Au départ contientnmoles d’un gaz en équilibre à la température. vide Lorsqu’on ouvre le robinet, le gaz s’engouffre danset se répartit dans etjusqu’à atteindre un nouvel état d’équilibre, caractérisé par une pression plus faible (d’où le nom de détente. On note la variation de tem-!) et une température finale pérature. Les caractéristiques thermodynamiques de la détente de Joule–Gay-Lussac : La détente de Joule–Gay-Lussac est une détente àénergie interne conservée. Démonstration :  Le système constitué des deux récipients ne peut échanger avec le milieu extérieurni travail(pa- rois supposées indéformables)ni chaleur (parois calorifugées). On a donc en vertu du premier principe : , ou encore sous forme différentielle : .  Or, on peut à priori écrire U comme fonction des variables T et V de sorte que :

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Si l’expérience montre que l’effet thermique est nul (

.

THERMODYNAMIQUE DE PCSI.

), on a alors nécessairement :

, relation qui exprime que l’énergie interne du gaz ne dépend pas du vo-

lume (et donc ne peut dépendre éventuellement que de la température).  Cette propriété est connue sous le nom depremière loi de Joule: un gaz parfait suit évidem- ment cette première loi de Joule. Lors d’une détente dans le vide, on observepour la plupart des gaz un refroidissement, sauf pour le dihydrogène et l’hélium (entre autres). la détente de Joule–Gay-Lussac est irréversible, même avec un gaz parfait  Il suffit pour s’en convaincre d’écrire la variation d’entropie des n moles du gaz, passant d’un état initial à un état final .

On a

, correspondant ici àl’entropie de création.

b)Détente de JOULE–THOMSON (alias Lord KELVIN).  La détente de Joule– Thomsonest la détente d’un gazs’écoulant lentementdans une conduite calorifugée,réalisée par exemple à l’aide d’une vanne de détente ou d’un bouchon po- reux, telle qu’on puisse négliger les variations d’énergie cinétique et d’énergie potentielle de pesanteur du fluide.  En pratique, on réalise le dispositif suivant : un AA’ BB’ réservoir R de gaz comprimé débite dans un tube ca- détendeur lorifugé par l’intermédiaire d’un détendeur permet- tant de régler la pressionà l’entrée. C C’ D D’  On oblige le gaz à traverser un milieu poreux M (coton, verre fritté, …) ou un ajutage (robinet à Gaz comprimé pointeau) ; par effet de viscosité, la pression diminue de façon continue pendant que le gaz se déplace dans M vers le compartiment de droite où la pression est(qui peut être la pression atmosphérique dans le cas où l’on laisse le gaz s’échapper à l’air libre. On suppose le régime d’écoulement établi stationnaire, c’est à dire indépendant du temps, au cours duquel la pression du gaz passe d’une valeuren amont de l’obstacle, à une valeurplus faible en aval. Les caractéristiques thermodynamiques de la détente de Joule–Thomson : La détente de Joule–Thomson est une détente àenthalpie conservée. Démonstration :  Considérons le système ferméS*, c'est-à-dire demasse constante, constitué par une masse de gaz occupant, à l’instantt,le volume délimité par le tube et deux surfacesACetBDsituées respecti- vement de part et d’autre du tampon M. A l’instantt + dt, cette même masse de gaz occupe le volume délimité par les surfacesA’C’etB’D’  Entre les instantstett + dt,ACse déplace jusqu’enA’C’et balaie un volume .  En amont, la masse de gaz subit donc une variation de volume sous la pression constante : elle reçoit par conséquent le travail .  En aval, la masse de gaz subit la variation de volume au cours du déplacement de la sectionBD jusqu’enB’D’., sous la pression constante Le travail reçu par le gaz s’écrit en aval: .

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THERMODYNAMIQUE DE PCSI.

 Le travail reçu par la masse de gaz entre les instantstett + dtest donc: .  Notons , etl’énergie interne du gaz compris respectivement entreAC etA’C’,A’C’ etBD, BDetB’D’.  Le premier principe appliqué à S*s’écrit,en négligeantl’énergie cinétique macroscopique du gaz et son énergie potentielle extérieure : . Soit, compte tenu qu’icisoit encore : ou .: , Si l’expérience montre que l’effet thermique est nul (), on a alors nécessairement :

, relation qui exprime que l’enthalpie du gaz ne dépend pas de la pres-

sion (et donc ne peut dépendre éventuellement que de la température).  Cette propriété est connue sous le nom dedeuxième loi de Joule: un gaz parfait suit évi- demment cette deuxième loi de Joule. On retient qu’un gaz parfait est un gaz qui suit la première et la deuxième loi de Joule. Attention : la détente de Joule–Kelvin est irréversible.  Pour le montrer, il convient de faire un bilan entropique comme il a été fait un bilan enthalpique précédemment, en raisonnant sur le système fermé S*, qu’on suit entre les instants t et t + dt, auquel on applique le deuxième principe.  La variation d’entropie massique entre l’entrée et la sortie de la machine étudiée au 2°) s’écriten ré-

gime stationnaire :

.

Pour la détente de Joule–Kelvin, on a

(évolution adiabatique). Il reste

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.