Topologie pour la Licence Cours et exercices
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3Topologie pour la Licence Cours et exercices Clemens Berger1 24 Janvier 2004 1Universite de Nice-Sophia Antipolis, Laboratoire J.-A. Dieudonne, 06108 Nice Cedex debut du vingtieme siecle dans les travaux de hausdorff et de tychonoff espaces connexes cadre de l'harmonisation europeenne du systeme universitaire programme de licence subit de profonds remaniements
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Universit´edeLimoges
De´partementdemath´ematiques
TOPOLOGIE
ET ANALYSE FONCTIONNELLE
Licences MATH et MASS
semestre 5
annn´eeuniversitaire2005-2006
Driss BOULARAS
2
Tabledesmati`eres
1 Espaces metriques ´ 1.1De´finitionsdebaseetexemples............................ 1.1.1 Distances, espaces metriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.1.2Uneclasseimportanted’espacesme´triques:lesespacesvectorielsnorme´s 1.1.3Boulesouvertesetboulesferme´es....................... 1.2Inte´rieur,adh´erenceetfronti`ered’unensemble................... 1.2.1Pointsinte´rieurs,pointsadh´erents,pointsd’accumulationetpointsisole´s 1.2.2Partiesouvertesetpartiesferm´ees,voisinages................ 1.3Partiesborn´ees..................................... 1.4Lessuitesdanslesespacesm´etriques......................... 1.4.1D´efinitonsetexemples............................. 1.4.2Limited’unesuited’e´l´ementsd’unespaceme´trique............. 1.4.3Caract´erisationdespointsadhe´rentsetd’accumulation`al’aidedessuites 1.4.4Suitesextraites,valeursd’adhe´rence..................... 1.4.5 Suites de Cauchy, espaces metriques complets . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1.5 Notes historiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Comple´mentssurlesespacesme´triques 2.1Distances´equivalentes................................. 2.2Produitcarte´siend’espacesm´etriques........................ 2.3Diame`tred’unepartieetdistanceentredeuxparties................ 2.4Sous-espacesm´etriques................................. 3Continuit´ompacit´eetconnexite´ e, c 3.1Applicationscontinuesdanslesespacesme´triques.................. 3.1.1De´finitions,exemplesetpremi`eresproprie´te´s................ 3.1.2Home´omorphismes,applicationslipschitziennes............... 3.1.3Continuite´uniforme.............................. 3.1.4Th´eor`emedupointfixeetapplications.................... 3.1.5Applicationsline´airescontinues........................ 3.2 Ensembles compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1D´efinitionsetpremi`eresproprie´te´s...................... 3.2.2The´ore`mesfondamentaux........................... 3.2.3Compacite´etcontinuite´............................ 3.3 Ensembles connexes et connexes par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5 5 5 6 7 7 7 10 11 11 12 12 13 13 14 15 17 17 18 18 19 21 21 21 23 25 25 28 30 30 32 35 35
