UFR S T M I A École Doctorale IAE M

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Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8

  • mémoire


UFR S.T.M.I.A. École Doctorale IAE + M Université Henri Poincaré - Nancy I D.F.D. Mathématiques MÉMOIRE présenté par Stéphane Gaussent en vue d'obtenir le diplôme d'HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques. Constructions immobilières en théorie des représentations soutenu le 7 décembre 2010 devant le jury composé de Mme Caroline GRUSON Professeur, Université Nancy 1 M Peter LITTELMANN Professeur, Universitaet Köln M Guy ROUSSEAU Professeur, Université Nancy 1 M Olivier SCHIFFMANN Directeur de recherches, Université Paris 11 M Wolfgang SOERGEL Professeur, Universitaet Freiburg au vu des rapports de M Michael KAPOVICH Professeur, University of California at Davis M Arun RAM Professeur, University of Melbourne M Wolfgang SOERGEL Professeur, Universitaet Freiburg Institut Élie Cartan Nancy C.N.R.S. UMR 7502

  • ls-galleries

  • structure de cristal sur les cycles mv

  • constructions immobilières

  • nouvelle caractérisation des chemins ls

  • théorie des représentations

  • polynômes de hall-littlewood

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  • algèbre de kac-moody


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Publié le 01 décembre 2010
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Langue Français
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UFR S.T.M.I.A. École Doctorale IAE+M Université Henri Poincaré - Nancy I D.F.D. Mathématiques
MÉMOIRE présenté par
Stéphane Gaussent
en vue d’obtenir le diplôme d’HABILITATION À DIRIGER DES RECHERCHES Spécialité : Mathématiques.
Constructions immobilières en théorie des représentations soutenu le 7 décembre 2010
devant le jury composé de Mme Caroline GRUSON Professeur, Université Nancy 1 M Peter LITTELMANN Professeur, Universitaet Köln M Guy ROUSSEAU Professeur, Université Nancy 1 M Olivier SCHIFFMANN Directeur de recherches, Université Paris 11 M Wolfgang SOERGEL Professeur, Universitaet Freiburg
au vu des rapports de M Michael KAPOVICH Professeur, University of California at Davis M Arun RAM Professeur, University of Melbourne M Wolfgang SOERGEL Professeur, Universitaet Freiburg
Institut Élie Cartan Nancy C.N.R.S. UMR 7502
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Remerciements
Je tiens tout d’abord à remercier tous les rapporteurs qui ont pris du temps pour regarder ce mémoire. Il y a bien sûr les 3 rapporteurs officiels : Michael Kapovich, Arun Ram et Wolfgang Soergel ; mais je pense aussi aux deux autres personnes contactées par l’école doctorale pour émettre un avis sur ma candidature et ce mémoire. Je remercie aussi les membres du jury : Caroline Gruson, Peter Littelmann, Guy Rous-seau, Olivier Schiffmann et Wolfgang Soergel d’avoir accepté d’en être et d’avoir bravé des conditions atmosphériques difficiles pour participer à la soutenance de ce mémoire. Mes remerciements s’adressent aussi à mes co-auteurs : Nicole Bardy, Pierre Baumann, Cyril Charignon, Peter Littelmann et Guy Rousseau. Auprès de chacun d’eux, j’ai appris quelque chose et sans eux, je n’en serai pas là aujourd’hui. Dans cette même optique, je remercie Nicole, Caroline et Guy pour les groupes de travail que nous organisons chaque année et qui ont favorisé nos travaux en commun. Ces groupes de travail ont pris corps au sein de l’équipe GLAH et ses membres m’ont permis d’évoluer dans un environnement scientifique stimulant, qu’ils en soient remerciés. Ces derniers temps, j’ai bénéficié du soutien de l’ANR jeunes chercheurs RepRed (ANR-09-JCJC-0102-01), je profite de cette occasion pour remercier tous les collègues qui en font partie, pour leur accueil et les échanges lors des rencontres. Merci à Pierre, Philipp, Daniel, Cédric, Emmanuel, Ivan, Nicolas, Simon, Olivier et Karine. Dans le même ordre d’idée, j’ai fait plusieurs séjours à Cologne et à Wuppertal lors desquels j’ai bénéficié des échanges avec Peter, Stéphanie, Michael, Christoph, Ghislain, Inka et An Hoa, merci à eux. Je voudrais aussi remercier tous les membres de l’Institut Elie Cartan qui contribuent à faciliter mon quotidien d’enseignant-chercheur. En particulier, je tiens à mentionner les personnels administratifs, présents et passés et notamment Laurence Quirot. Certains membres du laboratoire sont devenus plus que des collègues ; je voudrais les remercier plus particulièrement : merci à Nicole, Benoît, Anne, Caroline, Oussama, Vincent, Régine, Julien et Guy. Letztlich will ich ein besonderes Dankeschön an meine Frau Doris sagen !
Table des matières
1 Introduction 7 2 Contexte algébrique 11 2.1 L’algèbre de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Le groupe de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Le groupe de Kac-Moody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Les représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Combinatoire cristalline 15 3.1 La structure de cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1.2 Exemples et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.1.3 Paramétrage en cordes deB(−∞). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Les chemins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2.1 Chemins polygonaux parcourus à vitesse constante . . . . . . . . . . . . 17 3.2.2 Chemins à la Kapovich et Millson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.3 Chemins LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2.4 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2.5 Nouvelle caractérisation des cheminsLS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3 Les galeries d’alcôves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.1 Groupe de Weyl affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3.2 Définition de galeries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3.3 Opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3.4 Galeries LS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Dans le1 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .squelette . 3.4.1 Galeries minimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4.2 Galeries pliées positivement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.3 Galeries dans le1 . . . . . . . . . . .squelette et modèle des chemins . 26 4 Constructions immobilières 29 4.1 Les immeubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1.1 Immeubles affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.1.2 Immeuble de Bruhat-Tits associé àGet àC((t)) 30. . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Pliage et dépliage de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 La masure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2.1 Appartement affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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TABLE DES MATIÈRES
4.2.2 Définition de masure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.3 Premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.4 Segments dans la masure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3.1 L’algèbre de Hecke sphérique et l’isomorphisme de Satake . . . . . . . . 36 4.3.2 La «saturation» du cône de Littlewood-Richardson . . . . . . . . . . . . 37 Variétés de Bott-Samelson 39 5.1 Le cas classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.1.1 Fibrations de fibreP1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1.2 Espace tangent combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Le cadre affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.1 Galeries d’alcôves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.2.2 Dans le1squelette . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grassmannienne affine 47 6.1 Les premières définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 6.1.1 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.1.2 Cycles de Mirković-Vilonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.1.3 Structure de cristal sur les cycles MV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.2 Des sous-ensembles denses dans les cycles MV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2.1 Associés aux galeries d’alcôves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2.2 Aux paramètres en cordes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 6.2.3 Paramétrage algébro-géométrique de Lusztig de la base canonique . . . . 53 6.2.4 Polynômes de Hall-Littlewood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6.3 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.1 La charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.3.2 Les polynômes de Hall-Littlewood pour une algèbre de Kac-Moody . . . 58
Travaux
– [32] avec Nicole Bardy, Cyril Charignon et Guy Rousseau, Applications des immeubles à la théorie des représentations, preprint soumis, arXiv :1007.3803. 29p.
– [31] avec Peter Littelmann, One-skeleton galleries, Hall-Littlewood polynomials and the path model, preprint soumis, arXiv :1004.0066, 39p.
– [30] avec Guy Rousseau, Kac-Moody groups, hovels and Littelmann’s paths, Annales Inst. Fourier 58 (2008), 2605-2657.
– [3] avec Pierre Baumann, On Mirković-Vilonen cycles and crystal combinatorics, Re-present. Theory 12 (2008), 83-130.
– [29] avec Peter Littelmann, LS-Galleries, the path model and MV-cycles, Duke Mathe-matical Journal, Vol. 127, No. 1, (2005), 35-88.
– [28] Combinatorial tangent space and rational smoothness of Schubert varieties. Comm. Algebra 31 (2003), No. 7, 3111-3133.
– [27] Corrections et new results on : "The fibre of the Bott-Samelson resolution" [Indag. Math. (N.S.) 12 (2001), no. 4, 453-468 ; MR1908873]. Indag. Math. (N.S.) 14 (2003), No. 1, 31-33.
– [26] The fibre of the Bott-Samelson resolution. Indag. Math. (N.S.) 12 (2001), No. 4, 453-468.
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TABLE
DES
MATIÈRES