UHP SPI S4 UE4 Mathématiques Feuille
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
UHP – SPI, S4, UE4.01, 2011–2012 Mathématiques/Feuille 3 Matrices Calcul matriciel 1. Soient les matrices A = ( 1 2 3 4 ) B = ? ? ? ? 1 ?2 3 ?4 ? ? ? ? C = ? ? ? ? 1 2 0 ?1 1 3 0 ?1 1 1 0 0 ? ? ? ? D = ? ? 1 0 ?1 0 2 ?2 3 ?3 1 2 ?1 2 ? ? Quels sont les produits de deux matrices possibles? Effectuer ces produits. 2. Soit A = ( 2 5 1 3 ) . Résoudre les équations suivantes : a) XA = ( ?1 3 7 4 ) , b) AX = ( 3 ?5 2 6 ) 3. Quelles sont les matrices A, à deux lignes et deux colonnes, telles que AM = MA dans les cas suivants : M1 = ( 1 0 0 0 ) M2 = ( 0 1 0 0 ) M3 = ( 1 1 0 1 ) M4 = ( 0 1 ?1 0 ) . 4. Soit A = ? ? 0 0 1 1 0 3 0 1 0 ? ?.

  • formule de changement de base

  • matrices d'applications linéaires

  • images de vecteurs v1

  • matrices

  • base de r4


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Calcul matriciel
UHP – SPI, S4, UE4.01, 2011–2012 MathÉmatiques/Feuille 3
Matrices
1.Soient les matrices   1   2   A2 3 4= 1B=   3 4     1 20 1 01 0 31 1    C=D= 22 33   01 1 121 2 1 00 Quels sont les produits de deux matrices possibles?Effectuer ces produits.   2 5 2.SoitA=. RÉsoudreles Équations suivantes : 1 3    1 335 a)XA=,b)AX= 7 42 6
3.Quelles sont les matricesA, À deux lignes et deux colonnes, telles que AM=M Adans les cas suivants :      1 00 11 10 1 M1=M2=M3=M4=. 0 00 00 11 0
  0 0 1   4.SoitA= 10 3. 0 1 0 2 3 a) CalculerA ,A. 3 2 b) Trouvera, b, ctels queA+aA+bA+cI= 0.
5.On considÈre les matrices    2 433 816    A= 1 30, B=3 712. 01 11 23 a) CalculerAB,BA. 111111 b) CalculerA,B,A B,B A. 11 c) Calculer(AB),(BA). d) Que remarque-t-on?. 6.Calculer la transposÉe des matrices suivantes :      3 2 13 2   3 2 1    A0 1= 1, B=, C= 10, D2 1= 3. 1 0 1 2 1 02 1 t tt VÉrifier que(BC) =C B. Matrices d’applications linÉaires 4 7.On considÈre l’endomorphismefdeRdonnÉ par f(x, y, z, t) = (x3y+ 8z4t, x4y+ 11z6t,xy+ 4zt,2x+ 2z+t) 4 a) Calculer la matriceAdefdans la base canoniqueBdeR. b) Montrer queKerfest un espace de dimension 1 et dÉterminer un vecteurv1engendrantKerf. c) DÉterminer un vecteurw1non nul tel quef(w1) =w1. 2 d) CalculerAet dÉterminer le rang deff. e) DÉterminer un vecteurv2tel quef(v2) =v1. Montrerque{v1, v2}est une base deKer(ff). f) Montrer quew1Im(ff)et dÉterminer un vecteurw2tel que{w1, w2} soit une base deIm(ff). 04 g) Montrer queB={v1, v2, w1, w2}est une base deR, et Écrire la 0 matriceAdefdans cette base. 0 −1 h) Calculer la matrice de passagePdeBÀBetP. Ecrire la formule de changement de bases. 0n n i) Calculer pour entiern1 (A), puisA.
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4 8.On considÈre l’endomorphismefdeRdonnÉ par
f(x, y, z, t) = (ax+by+t, bx+ay+z, y+az+bt, x+bz+at)
aetbsont des paramÈtres rÉels. 4 a) Calculer la matriceAdefdans la base canoniqueBdeR. 0 b) Montrer que la familleBformÉe des vecteurs
v1= (1,1,1,1), v2= (1,1,1,1), v3= (1,1,1,1), v4= (1,1,1,1)
4 est une baseR. c) Ecrire les images de vecteursv1, v2, v3, v4dans la base canonique, puis 0 dans la baseB. 0 0 d) En dÉduire la matriceAdefdansB. 0 −1 e) Ecrire la matrice de passagePdeBÀB. CalculerP. f) VÉrifier les les calculs À l’aide de la formule de changement de bases.
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