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Unité d'enseignement LCMA 5U12

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
LICENCE DE MATHÉMATIQUES TROISIÈME ANNÉE Unité d'enseignement LCMA 5U12 ALGÈBRE Françoise GEANDIER Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques

  • clos - clôture algébrique

  • anneau

  • théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes

  • théorèmes de décomposition

  • addition

  • somme directe de groupes

  • groupes-quotients

  • relations d'équivalence - corps des fractions


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Langue Français

Exrait

LICENCE DE MATHÉMATIQUES TROISIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LCMA 5U12
ALGÈBRE
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I Département de Mathématiques
.
Table
des
matières
I Anneaux                                                                    
1. Anneaux.
2. Sous-anneaux.
3. Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre.
4. Homomorphismes.
5. Idéaux.
6. Polynômes à coefficients dans un anneau.
7. Anneaux-quotients.
II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels                             
1. Anneaux euclidiens.
2. Anneaux principaux.
3. Anneaux factoriels.
4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes.
5. Polynômes irréductibles deZ[X].
III Groupes                                                                 
1. Groupes.
2. Homomorphismes.
3. Sous-groupes.
4. Relations d’équivalence dans les groupes.
5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients.
6. Groupes-quotients de(Z,+).
7. Groupes isomorphes.
8. Groupe symétrique.
1
17
31
IV Groupes commutatifs finis                                           
1. Somme directe de groupes.
2. p-groupes.
3. Groupes p-élémentaires.
4. Théorèmes de décomposition.
V Extensions de corps                                                     
1. Extensions algébriques.
2. Corps de rupture d’un polynôme.
3. Corps algébriquement clos - clôture algébrique.
4. Corps finis.
5. Théorème de Wedderburn.
57
71
I ANNEAUX
1. Anneaux 1.1 Définition On appelle anneau un ensemble non videAmuni de deux lois internes+etappelées addition et multiplication, vérifiant les conditions suivantes : a)x, y, z∈ A x+y=y+x: commutativité de l’addition ; (x+y) +z=x+ (y+z) ;: associativité de l’addition il existe un élément neutre pour l’addition noté0A:x∈ A,0A+x=x+ 0A=x; tout élémentx∈ Aadmet un opposé notéxappartenant àAtel que
x+ (x) = (x) +x= 0A
Et aussi b)x, y, z∈ A (xy)z=x(yz): associativité de la multiplication ; (x+y)z=xz+yzetz(x+y) =zx+zy: distributivité (à gauche et à droite) de la multiplication par rapport à l’addition ; il existe un élément neutre pour la multiplication noté1A:x∈ A,1Ax=x1A=x Si de plus la multiplication est commutative, on dit queAest un anneau commutatif.
1.2 Exemples Z,Q,R,Csont des anneaux commutatifs. Nn’est pas un anneau. Z[i] :={a+ib a, bZ}: on l’appelle l’anneau des entiersest un anneau commutatif de Gauss.
Pour toutn1, l’ensembleZnZest un anneau commutatif. L’ensembleMn(R)des matrices réelles carrées d’ordrenest un anneau non commutatif.
1.3 Propriétés a) Pour toutx∈ A, l’opposéxest unique ; b) un anneauAest régulier pour l’addition :
x, y, z∈ A, x+z=y+z=x=y;
c)x∈ A,0Ax= 0A: on dit que0A ;est absorbant d)x, y∈ A,x= (1A)x=x(1A)et(xy) = (x)y=x(y); e)x∈ A,nN, on note
nfois } { nx=x+x+  +x
1
et
nfois xn=xx}  x{
sinZ, on pose
nx=(n)x;
f) si l’anneauAestcommutatifdite du binôme de Newton :, on a la formule
n x, y∈ A,(x+y)n=XCknxkynk k=0
cette propriété est fausse si l’anneau n’est pas commutatif ; en effet, déjà pourn= 2, on a(x+y)2=x2+xy+yx+y2.
Preuve: immédiate.
1.4 Définitions
a) SoitAun anneau commutatif et soientaetbdeux éléments deA: on dit queaest multiple debou quebdiviseas’il existe un élémentcdeAtel quea=bc. On note alors b|a.
b) SoitAun anneau non nécessairement commutatif. On dit qu’un élément non nulade Aest un diviseur de zéro à gauche (resp. à droite) s’il existe un élément non nulbdeA tel queab= 0(resp.ba= 0).
Exemple :Mn(R)possède des diviseurs de zéro, en effet 0001 1000=0000
c) Un élémentadeAest dit inversible dansAs’il existe un élémentbdeAtel que ab=ba= 1A. Cet élémentbest alors unique et est appelé inverse dea; on le note a1. Evidemment,a1est lui-même inversible, d’inversea. On noteraAl’ensemble des éléments inversibles deA. Remarquons qu’un élément inversible deAest nécessairement non nul.
Exemples : Z={1,1}. R=R− {0}. (ZnZ)={¯apgcd(a, n) = 1}. (Mn(R))est l’ensemble des matrices de déterminant non nul. (Z[i])={1,1, i,i}.
Remarque :On a coutume de noterN=N\ {0}; cette notation n’est pas contradictoire avec la notation vue précédemment pour l’ensemble des éléments inversibles d’un anneau puisqueNn’est pas un anneau.
1.5 Définition On appelle corps un anneau dont tous les éléments non nuls sont inversibles.
Exemples :Q,R,C ;sont des corps commutatifsZnZest un corps commutatif si et seulement sinest premier.
2
1.6 Définition
On dit qu’un anneauAest intègre s’il ne possède pas de diviseurs de zéro,i.e.
x, y∈ A, xy= 0A=x= 0Aouy= 0A
Exemples :  ; la réciproque est fausse :Tout corps est intègreZest intègre sans être un corps. Mn(R)n’est pas intègre. ZnZest intègre si et seulement sinest premier.
1.7 Proposition
SoitA alors ;un anneau intègreAest régulier pour la multiplication,i.e.
Preuve: immédiate.
2. Sous-anneaux
2.1 Définition
x, y, z∈ A,
xy=xzetxnon nul
=y=z
SoitAun anneau etBune partie non vide deA. On dit queBest un sous-anneau deAsi Bmuni de l’addition et de la multiplication deAest lui-même un anneau et si1B= 1A.
2.2 Proposition
SoitAun anneau et soitBun sous-anneau deA. Alors, on a
a) l’addition et la multiplication sont internes àB;
b)0B= 0A; c) pour toutx∈ A, l’opposé dexconsidéré comme élément de l’anneauBest le même que l’opposé dexconsidéré comme élément de l’anneauA;
d) siAest commutatif, alorsBl’est aussi. SiAest intègre, alorsBl’est aussi.
Preuve: immédiate.
Remarque :un sous-anneauBd’un anneauApeut être commutatif intègre sans queA le soit. Ainsi l’ensembleB={ λλI R}des matrices d’homothéties dansMn(R)est un sous-anneau commutatif et intègre deMn(R)alors queMn(R)n’est ni commutatif ni intègre.
2.3 Proposition
SoitBune partie d’un anneauA. AlorsBest un sous-anneau deAsi et seulement si il vérifie les conditions suivantes :
3
a)1A∈ B; b)x, y∈ B, xy∈ Betxy∈ B.
Preuve:
SoitBun sous-anneau deA, alors l’addition et la multiplication sont internes àB. De plus, pour touty∈ B,y∈ Bd’après 2.2, doncx, y∈ B, xy=x+ (y)∈ Betxy∈ B. En outre,1B= 1Adonc1A∈ B. Réciproquement, soitBune partie deAvérifiant les conditions a) et b). Alors, en parti-culierBest non vide. De plus, d’après b) on a0A= 1A1A∈ B, d’où pour toutx∈ B, x= 0Ax∈ B. On en déduit quex, y∈ B, x+y=x(y)∈ Bet ainsi l’addition est interne àB. De plus, l’addition étant commutative et associative dansAl’est aussi dansB. D’autre part, la multiplication est elle aussi interne àBgrâce à b), elle est associative et distributive par rapport à l’addition dansB, puisqu’elle l’est dansA, et elle admet un élément neutre dansB, à savoir1A. DoncBest bien un sous-anneau deA.
2.4 Exemples
Zest un sous-anneau deQqui est lui-même un sous-anneau deR, qui est lui-même un sous-anneau deC.
Sinest un entier différent de1et1,nZn’est pas un sous-anneau deZ(16∈nZ). Z[i]etZ[i2]sont des sous-anneaux deC.
3 Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre
3.1 Définition et proposition
On considère sur un ensembleEune relation binaireR(i.e.entre deux éléments deE). On dit queRest une relation d’équivalence surEsi elle vérifie les trois conditions suivantes
a)Rest réflexive :xE, xRx;
b)Rest symétrique :x, yE, xRy⇐⇒yRx;
c)Rest transitive :x, y, zE, xRyetyRz=xRz.
SoitEun ensemble muni d’une relation d’équivalenceR;
a) SoitxE; on appelle classe d’équivalence dexpour la relationRet on notexle sous-ensemble deEdéfini par
x={yE yRx}
Tout élément dexest appelé un représentant de la classe d’équivalencex. On appelle système de représentants de la relation d’équivalenceRtoute famille(xi)iId’éléments deEvérifiant :
∗ ∀xE,iI , xxi; ∗ ∀i, j iI ,6=j=xixj=. On a les propriétés suivantes pour tousx, yE
4
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