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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence “Mathematiques et informatique” Premiere annee UE Math I-ALGEBRE Annee 2010-2011 CHAPITRE 1 1 Recurrence Exercice 1 Montrer par recurrence que, pour tout n ≥ 1, 1 + 2 + 3 . . . + n = n(n + 1) 2 . En deduire la valeur de 1 + 3 + 5 + . . . + (2n? 1). Exercice 2 Montrer par recurrence que, pour tout n ≥ 1, 1 1? 2? 3 + 1 2? 3? 4 + . . . + 1 n? (n + 1)? (n + 2) = n(n + 3) 4(n + 1)(n + 2) . Exercice 3 Pour tout n ≥ 1, on designe par S1(n), S2(n) et S3(n) les sommes suivantes S1(n) = 1 + 2 + 3 + . . . + n S2(n) = 12 + 22 + 32 + . . . + n2 S3(n) = 13 + 23 + 33 + . . . + n3 1. A l'aide de l'identite remarquable (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1, trouver une relation entre S2(n) et S1(n).

ecriture triadique

fortune minimale

reste dans la division euclidienne

recurrence

entier

diviseurs dans z de ?12

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Récurrence Entier relatif

Universit´eClaudeBernardLyon1 Licence“Math´ematiquesetinformatique”

Premi`ereanne´e UE Math I-ALGEBRE

Ann´ee2010-2011

CHAPITRE 1

1Re´currence Exercice 1oMr´ecurrentrerpartruotuoqecnp,eun≥1, n(n+ 1) 1 + 2 + 3. . .+n=. 2 End´eduirelavaleurde1+3+5+. . .+ (2n−1). Exercice 2uotrturr´aecrnrcprreeuneteMqoou,pn≥1,

1 11n(n+ 3) + +. . .+ =. 1×2×3 2×3×4n×(n+ 1)×(n+ 2)4(n+ 1)(n+ 2) Exercice 3Pour toutn≥1´esi,ondargnepS1(n), S2(n) etS3(n) les sommes suivantes S1(n) = 1 + 2 + 3 +. . .+n 2 2 22 S2(n+ 3+) = 1+ 2. . .+n 3 3 33 S3(n+ 2+ 3+) = 1. . .+n 1.Al’aidedel’identit´eremarquable 3 32 (x=+ 1)x+ 3x+ 3x+ 1,

trouver une relation entreS2(n) etS1(nnd.E)elirdu´edruelavaeS2(n) (se servir du premier exercice). 2.Montrerenutilisantunede´monstrationparre´currenceque,pourtoutn≥1, on a

2 S3(n) = (S1(n)).

End´eduirelavaleurdeS3(n). 1

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