Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite Claude Bernard Lyon I Licence “Sciences et technologie” Premiere annee Unite d'enseignement Math I Correction de l'epreuve de mathematiques Session de JANVIER 2005 5 janvier 2005 ? duree : 2 heures gnificatif. Exercice 1 1. Utilisons un DL pour etudier f(x) = ln(cos x + sinx) dans un voisinage de zero. f(x) = ln(1 + x + x?(x)) = x + x?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. Donc, f(x) est equivalente a x en zero. 2. lim x?0 (cosx + sinx)1/x = lim x?0 e 1 x ln(cosx+sinx) Or, d'apres ce qui precede limx?0 1x ln(cos x+sinx) = 1. Il en resulte que limx?0(cosx+ sin x)1/x = e1 = e. Exercice 2 1. On sait que ln(1+ x) = x? x 2 2 + x3 3 ? x4 4 + x 4?(x), ou ? est une fonction de limite nulle en zero. 2. On en deduit que (1 + x)1/x =exp( 1x ln(1 + x)) =exp(1 ? x 2 + x2 3 ? x3 4 + x 3?(x)).
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