Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur

• cours - matière potentielle : du premier fait

Université Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2010/2011 Master 1 Introduction à la Logique Théorie des ensembles DM 3 arithmétique des cardinaux Corrigé. Exercice I. a. Nous avons vu que pour tout cardinal infini ? il existe une bijection ? : ???? ?. Montrer qu'il existe une bijection ? : ???? ? tel que, en outre, pour chaque i < ? l'application j 7? ?(i, j) est strictement croissante. (On pourrait le faire en examinant la preuve donnée en cours du premier fait, ou comme une conséquence de ce fait.) En déduire que ?(i, j) ≥ j. Solution : Nous avons montré en cours qu'il existe une bijection ? : ?? ?? ? qui vérifie ?(i, j) < ?(i?, j?)?? ? ?? ?? max(i, j) < max(i?, j?) ou max(i, j) = max(i?, j?) et i < i? ou max(i, j) = max(i?, j?) et i = i? et j < j?. Si i < ? et j < j? < ? alors nous avons ?(i, j) < ?(i, j?) par le premier cas si j? > i et par le troisième si j? ≤ i.

• étape de récurrence intérieure


• particulier ?


• pi1 ?


• cardinal infini


• inégalité ≥


• récurrence


• ?i ≤ sup


• bijection ?


• ordinal ?

Sujets

• Récurrence

Informations

• Publié par: zauj
• Nombre de lectures: 48
• Langue: Français

Extrait

’: !
: ! i< j7! (i;j)
(i;j)j
’: !
8
0 0>max(i;j)< max(i;j )<
0 0 0 0 0’(i;j)<’(i;j )() max(i;j) = max(i;j ) i<i
>: 0 0 0 0max(i;j) = max(i;j ) i =i j <j :
0 0 0 0i< j <j < ’(i;j)<’(i;j ) j >i j i
X f: X ! X
f(x)x x ’(i;j)j
fgi i<
X Y
=sup = max ; sup ; = sup :i i i i i
i i i
i< i<
’: !
X X
sup =) sup =sup ;i j i j j
j< j< j< i< i<
X X
=) sup ;i j i j
j<
i< i<
X X X X
= = sup :i ’(i;j) j j j
j< i< i;j< i;j< j<
cf() P
fg < =i i< i ii<

= max ; sup < =i ii<
cf() < = sup < cf()i ii<
cf() = = cf()
dourraitcardinalled'o?faireeenaexaminanourttellaSoitoueClaudealorspreuveteourdonn?earithm?tiqueencardinauxettcoursarddupremiereersit?parUnivvfai.Solutionulier,:donneIlc.existequeplusieurspapprosuitecesthes.tr?.v.pDonnonsar-nousensiunelequia.marccashsieinni?bijectionlaalorsfoismani?repSiourr?gulierlal'applicationsommer?sultatetpropestourMonle3proleduit.cardinalNousexistexonsteuneordonn?bijectionat,siouetcomme?uneSolutioncons?quenceledetelcenal.commequestionplusnhaut.NousAlExerciceorsad'unoc?t?,nousparticuliera.vsionspremifait.);ouqueEntoutd?duireexistequec.vSolutiona:MonNousdeaexistevtelpEnonsenmonoutre,tr?etent(Onlecourspte.lecroissanduit.qu'ilSoitexisteununeinni.bijetrerctionDMquitestetplusvetit?ridesequ'iletuned'uncroissanBede.etstrictemenbienrncardinauxestvacquequetrermonMond?cardinaux.galemendeonst).(faiblemen:teacroissanplussuiteetitunecridPLylaonpr?c?Ied'o?tetobtenonse.inni,Corrig?.cardinalI.unisi?me2ndvSoitcb.tr.parsemestred'o?2010/2011nMasteret1NousInSitrovductionalorsdonneericileappliqu?onsCeciet.vu?ptoutourourcardinalpillaaLogiqueeTh?orieunedesonsensem,blesencorealorsnouste.croissantrertAinsistrictementouteRempla?anqu'iltunesommebijectionparque,pro.duitparticetsiproestduitalorsparppuissance,clehaquem?meargumenautre cf() =
+sup < <jj < i ii<cf()
+ +i jj <jj jji i i
= sup jj jj = sup jji i i ji<cf() j<i
i< cf() jj< i< cf() = sup i j ii<cf()
cf()
< < i
i<
i = sup :
i
P
= cf()< < = i ii<
P Y i i ii< = = = sup :
i<
i<
< cf()
= max ; sup :
<
< cf() f2 f: ! S
< = <
X X
j j = jj sup :
< < <

cf() = :
2 =
2 = :
= cf()
= cf()<< < i<i
= max ; sup :i
i<
P ‘
< = i i ii< i<
f: ! g: ! i <
1h : g (fig)!i i
‘ S
: ! = figi ii< i
f2 g = f2 1 2 1
i< h 2i i
(
f(j) g(j) =i2
h (j) =i
0
.ordinal,ordinalpd'o?pas,Pble,.c.:Monsoientreronsqparticulier,ue.sicqu'ensemestt.tandire(etdeuxenqesthaquer?guliero?!)onalorsa.Ainsi,applic.ecertainueunpourppfacile.blebijectionl'ensemOr?outSolutionet:aNousouvad'o?vetonsd?nird?j?:vunousquequand(p.ourtoutetIinni)obtenonsappartieneti.e.,carorn?e,pbasinon.ue,applicationd'o?cardinalcardinalc.(i.e.,...)fonctionPuetronshaqxonsct,suitePuisque?galemen.ptrons,Mon.facile.vEnjections.outre,.estnousL'in?galit?p:d'unSolutionestalorsasiour.,d.cMondestrersonquevsilimite.quesingulier.rquee?trAlorsMonourr?gulier.applicationestI.t,ExercicetenannousmainunealorsationdeAinsiestetsingulier,,ettilourexistehuneqsuite,deqcardinauxunepartiretit?plusb.unAlorshaquepAlorsourour.osonsqueSolutionlsL'in?galit?telsestqueMontete.tsNouscroissanuneetcroissan,n?cessairemenSoitn'est:laSolutiont.:quecardinalourtoutcelaourTpetquettelsalors(OnonscleshoisitproourFixonspNousetuer?guliersAlorstelspqonsueosercardinauxteldesl'existenceexistelimite),qu'il(cartrervMon,.pFixonscunnouseordinalbijectionhaqueenourtreordinaux.singulier.parettllesaonsr?unionadiAlorssestjoiEnnesttsiesttrerquemosonsResteSupp)estf7!g;(h )i i<
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= cf()

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