Universite Claude Bernard Lyon I 2nd semestre Master Introduction a la logique mathematique

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite Claude Bernard Lyon I 2nd semestre 2011/2012 Master 1 Introduction a la logique mathematique 1 Theorie des ensembles Feuille 1. Exercice 1 (Ensembles) 1. Montrer que si x et y sont des ensembles, la paire (x, y) en est un. 2. Montrer que si X et Y sont des ensebmbles, alors le produit cartesien X ? Y en est un. Exercice 2 (L'axiome de fondation) On rappelle que l'axiome de fondation est l'enonce suivant : pour tout ensemble non vide x, il existe un ensemble y ? x tel que y?x = ?. Verifier que cet axiome interdit l'existence d'ensembles x tels que x ? x, ou l'existence de suites (xn)n

• definition par recurrence transfinie de ?


• ordre denombrable


• developpement de cantor


• ??1 ·


• existence du developpement de cantor


• maniere equivalente par induction


• ordinal ?


• unique couple

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Extrait

Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Ann´ee2004-2005

Rappels de topologie

1 Exemplesd’espace de Banach. Exercice 1SoitE 1 eeuqtcem´etriunespaE 2 un espace de Banach. On notera parC(E 1 , E 2 ) (resp. parC b (E 1 , E 2 ee)s)(lr’bop.´ern)desilppasedelbmesneesnutionsconticaE 1 dansE 2 . up paceest a) Montrerque si on munitC b (E 1 , E 2 ) de la normekfk ∞ := s x∈E 1 kf(x)k 2 , alors cet es un espace de Banach. b) Montrerque siE 1 est compact, alors (C(E 1 , E 2 ),k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. 1 c) Onsuppose ici queE 1 = [a, b] (a, b∈R,a < b) etE 2 =Rdie`ocsn.nOreC([a, b],R) l’ensemble 1 desfonctionsre´ellesdeclasseCsur [a, b]. On munit cet espace de la norme 01 kfk 1 :=kfk ∞ +kfk ∞ , f∈C([a, b],R). 1 Montrer que (C([a, b],R),k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. 1 Exercice 2Oere`disnocn`l’espace des suites (u n ) n>1 avelrucseuq,a`ettellesomplexes X |u n |<+∞. n>1 On munit cet espace d’une norme en posant +∞ X 1 kuk 1 =|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n=1 Montrer que (` 1 ,k ∙ k 1 ) est un espace de Banach. ∞ Exercice 3consid`erenO`l’espace des suites (u n ) n>1 es´ernboetesexplmocsruelava`tec 0 le ∞ sous-espace des suites (u n ) n>1 tendant vers 0. On munit`d’une norme en posant ∞ kuk ∞ := sup|u n |, u= (u n ) n>1 ∈` . n>1 ∞ a) Montrerque (` ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. ∞ b) Montrerquec 0 cefeespaous-tunsseedmre´`e´udE.dn(ueeqirc 0 ,k ∙ k ∞ ) est un espace de Banach. Exercice 4SoitEetFdeuxespacesvotceleirronsse´mnn.OepotarL(E;F) l’ensemble des appli- cationslin´eairescontinuesdeEdansF, muni de la norme  ! kT xk F kTk:= supkT xk F = inf= sup{M >0 :kT xk F 6Mkxk E ,∀x∈E}. kxk E x∈E ,kxk E 61 x∈E ,x6=0 Montrer que siFest un espace de Banach, alorsL(E;F) est un espace de Banach. Exercice 5SoitFunKes-m´e.MontrerqueapecevtcroeinlroL(K;Ftienemquherpmosoitse)irte´mos a`F. Exercice 6SoientE 1 , . . . , E n , Forievectacdeessesposti,stemre´slonf:E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n →Fune applicationmultilin´eaire.Rappelonsquefest continue surE 1 × ∙∙ ∙×E n si et seulement sifest continue en (0, . . . ,0) ou si et seulement s’il existeC >0 tels que n Y kf(x 1 , . . . , x n )k F 6Ckx i k E i ,(x 1 , . . . , x n )∈E 1 × ∙ ∙ ∙ ×E n .(1) i=1 Pourf∈ L(E 1 , . . . , E n ;F), on pose kfk:= sup{kf(x 1 , . . . , x n )k F :x i ∈E i ,kx i k E i 61}.

1

a) Montrerque, pourf∈ L(E 1 , . . . , E n ;F), on a

kfk= inf{M >0 :M(efiire´v??)}.

b)V´erifierquek ∙ kest bien une norme sur l’espace vectorielL(E 1 , . . . , E n ;F). c) Montrerque siFseapecedetsnul,hcanaBvecapse’elritoec´ermnoL(E 1 , . . . , E n ;F) est un espace de Banach. d) MontrerqueL(E 1 , E 2 ;Firuqmeneitosomprhe`aes)sotietm´L(E 1 ;L(E 2 ;F)).

2Applicationslin´eairescontinues. Exercice 7SurE=R[Xmr,eenonastnneopon],efid´tuni kPk= sup|P(x)|, P∈R[X]. x∈[0,1] a) Soita∈RetL a l’application deEdansR,L a (P) =P(a).´VrefiiquereL a est une forme line´aire.MontrerqueL a est continue si et seulement sia∈[0,1]. Lorsquea∈[0,1], calculer kL a k. b) Soientαetβder´uxlseeerv´fiinatα < βituneapplicationO.dne´nfiϕ α,β :E→Ren posant Z β ϕ α,β (P) =P(x)dx. α Montrer queϕ α,β nefoestuin´ermelreairsuE,etsuffisantessaireenoitce´ncenuidnoro.Teruv portant surαetβremrnie´etsad,ltce’csesquetlornueeontictioseriae´nilemorefttceuerqou,p sa norme. Exercice 8SoitE=C([0,1],Relcsnoitunseus[r0l)decapse’tincfoesel´esron,1]. On munit cet espace de la norme kfk ∞ = sup|f(x)|, f∈E. x∈[0,1] Onde´finitl’applicationϕ:E→Rpar Z 1 ϕ(f) =x(1−x)f(x)dx, f∈E. 0 a) Montrerque l’applicationϕireaonecmeorn´lietsnufeunitruseEet calculer sa norme. b)MeˆmequestionsionmunitEde la norme Z 1 (i)kfk 1 =|f(x)|dx,f∈E. 0 Z  1/2 1 2 (ii)kfk 2 =|f(x)|dx,f∈E. 0 n n Indication :snoictonefeditsulaernpourraconsid´erof n (x) =x(1−x) . Exercice 9SoitAra´rciceamrtueneen×ncudsspro´eelntme’´dK=RouC. Pour 16p, q6+∞, n n on notekAk p,q iatsnoonimlr´dnea’ppilaceairedeKmuni dek ∙ k p versKmuni dek ∙ k q . On rappelle que  ! 1/p n X p kxk p =|x i |si 16p <∞,kxk ∞ = max|x i |. 16i6n i=1 ∗ On noteAceriatamltranspos´eeconjuuge´deeA, etρ(A) le rayon spectral deA, i.e. le plus grand module des valeurs propres deA.   3 2 Onconsid`ered’abordl’exempleK=R,n= 2 etA= 1 4 1.parsemigasedeseislnunuremmˆenesrsteR´rpeAph`eresdesskxk 1 = 1 etkxk ∞ nE.1=reuiedd´ kAk 1,1 ,kAk 1,∞ ,kAk ∞,1 etkAk ∞,∞ .

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2.clluaCˆmmereedekAk 1,2 etkAk ∞,2 . 3.CalculerkAk 2,2 . Onrevientmaintenantaucasg´ene´ralA= (a i,j ) 16i,j6n . 4.ifierqueV´er    X X    kAk ∞,∞ = max|a i,j |etkAk 1,1 = max|a i,j |. 16i6n16j6n 16j6n16i6n P n 5.On notex∙y=x i y i . Montrer que i=1 kxk 1 = max|x∙y|,kyk ∞ = max|x∙y|, kyk ∞ =1kxk 1 =1 ∗ etretrouverl’e´galite´kAk 1,1 =kAk ∞,∞ . ∗ 6.SiAest hermitienne (i.e.A=A), montrer que kAk 2,2 =ρ(A). (On pourra diagonaliserAdans une base orthonormale.) 7.Montrer qu’on a toujours ∗1/2 kAk 2,2 = (ρ(A A)). 2∗ (On poura utiliser 6. en notant quekAxk=A Ax∙x.) 2

3S´eriesdanslesespacesdeBanach. Definition 3.1SoitXnuseapecevorctlniem´orete,(x n ) n>1 edustneumsee´nldeet´i’X. On note N X S N :=x n ,N>1. n=1 (i)qteunOid´ne´larermegdeteerielas´x n converge si la suite(S N ) N converge dansX. (ii)rmtedeieern´´eeglauelas´erOnditqx n s,ledevnocmronegreentsalem´eriilasavel,ea`e´lerurs termeg´en´eralkx n k, converge.

Exercice 10a) Montrerque dans un espace de BanachXto,setuire´roneelammentconvergente est convergente. b) SoientEun espace de Banach etT∈ L(E) telle quekTk<1. Montrer queI d−Test inversible dansl’alge`breL(E). 1 n c) SoitT∈ L(Elare´ne´geoMtnerqr.)iedetermuelas´erTconverge. On notera exp(T) sa n! somme.

Exercice 11SoientEetFdeux espaces de Banach. Notons par Isom(E;F) l’ensemble des isomor- phismes deEsurF. a) Montrerque Isom(E;F) est ouvert dansL(E;F). −1 b) Montrerque l’applicationu7→ude Isom(E;F) dansL(F;E) est continue.

Exercice 12SoitEun espace de Banach. a) Montrerque siT 1 , T 2 ∈ L(E) tels queT 1 T 2 =T 2 T 1 , alors

exp(T 1 ) exp(T 2 ) = exp(T 2 ) exp(T 1 ) = exp(T 1 +T 2 ).

b)Montrerque,pourtout´el´ementT∈ L(E), on a exp(T)∈GL(E) et

−1 (exp(Texp()) =−T).

c) Montrerque l’application exp :L(E)→ L(E) est continue.

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