Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee calcul differentiel Quelques corrections Annee

Claude Bernard Lyon

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

• corrigé d'exercice - matière potentielle : sur la feuille numero

Universite Claude Bernard Lyon I Licence troisieme annee : calcul differentiel Quelques corrections. Annee 2004-2005 1 Corrections d'exercices sur la feuille numero 2 : differentielle d'une fonction. Correction de l'exercice ”a faire a la maison” : rappelons d'abord l'enonce. Soit E un espace vectoriel norme et f : E ? L(E) une application differentiable sur E. On definit ? : E ? E par ?(x) := f(x)(x), x ? E. Il s'agit de montrer que ? est differentiable sur E. Premiere methode : a partir de la definition. Comme f est differentiable sur E, cela signifie, qu'en tout point a de E, on a f(a+ h) = f(a) + dfa(h) + ?h??(h), ou dfa ? L(E,L(E)) et ? est une application de E dans L(E), qui tend vers 0 quand ?h? ? 0. Ecrivons alors ?(a+ h) ? ?(a) = f(a+ h)(a+ h) ? f(a)(a) = f(a+ h)(a) + f(a+ h)(h) ? f(a)(a) (par linearite de f(a+ h)) = (f(a) + dfa(h) + ?h??(h))(a) + (f(a) + dfa(

• theoreme des accroissement fini


• t0 ?


• espace vectoriel de dimension superieure


• differentiable sur ?


• version du theoreme des accroissements finis


• application differentiable


• correction de exercices


• ?h? ?


• corrections d'exercices sur la feuille numero

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Extrait

Universit´eClaudeBernardLyonI Licencetroisi`emeanne´e:calculdiffe´rentiel Anne´e2004-2005

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Quelques corrections.

Correctionsd’exercicessurlafeuillenum´ero2:diff´erentielle d’une fonction.

Correctiondel’exercice”a`faire`alamaison”:´’ldroba’dsnoleprapitSoe.c´onenEun espace vectoriel norme´etf:E→ L(Enu)reneitbaelusreapplicationdiff´Eitfin´endO.ϕ:E→Eparϕ(x) :=f(x)(x), x∈E. Il s’agit de montrer queϕe´ffretsidrusitneelbaE.

Premi`ereme´thode:`apartirdelade´finition. Commefestdruselbaitnere´ffiE, cela signifie, qu’en tout pointadeE, on a

f(a+h) =f(a) +df a (h) +khkε(h),

ou`df a ∈ L(E,L(E)) etεest une application deEdansL(E), qui tend vers 0 quandkhk →0. Ecrivons alors

ϕ(a+h)−ϕ(a) =f(a+h)(a+h)−f(a)(a) =f(a+h)(a) +f(a+h)(h)−f(a)(a) = (f(a) +df a (h) +khkε(h))(a) + (f(a) +df a (h) +khkε(h))(h)−f(a)(a) =df a (h)(a) +f(a)(h) +khk(ε(h)(a) +ε(h)(h)) +df a (h)(h) =L a (h) +R a (h),

(parline´arite´def(a+h)) (pardiffe´rentiabilit´edef)

ou`L a (h) :=df a (h)(a) +f(a)(h) etR a (h) :=khk(ε(h)(a) +ε(h)(h)) +df a (h)(h). Montrons queL a deinuecontreete´ialnnitaoilpciapnetuesEdansEe´nitirade´elaL.L a vient du fait quef(a) etdf a reevsi.eLnatcdounttliinnu´eiati´vina:stnoacclluus

kL a (h)k6kdf a (h)(a)k+kf(a)(h)k 6kdf a (h)k L(E) kak+kf(a)k L(E) khk 6kdf a k L(E,L(E)) khkkak+kf(a)k L(E) khk   =kakkdf a k L(E,L(E)) +kf(a)k L(E) khk,

ce qui montre queL a est continue etkL a k6kakkdf a k L(E,L(E)) +kf(a)k L(E) . Montrons queR a (h) =o(khk). Ecrivons que

kR a (h)k6khk(kε(h)(a)k+kε(h)(h)k) +kdf a (h)(h)k 2 6khkkε(h)k L(E) (kak+khk) +kdf a k L(E,L(E)) khk   =khk kε(h)k L(E) (kak+khk) +kdf a k L(E,L(E)) khk. En utilisant le fait quekε(h)k L(E) tend vers 0 quandkhk →0, on obtient ainsi queR a (h) =o(khk). Par cons´equent,ϕenabletsideneit´ffreaet on a

dϕ a (h) =L a (h) =f(a)(h) +df a (h)(a).

Deuxi`ememe´thode:ende´composantϕ’la`nctions”aidedefo.ispmel”s Introduisonsψ:E→ L(E)×Eetφ:L(E)×E→Erdaenifipes´

ψ(x) = (f(x), x), x∈E

etφ(T, a) =T(a),(T, a)∈ L(E)×E.

On a clairementϕ=φ◦ψ. De plus, commefselbruestdiff´erentiaE, l’applicationψesureisffbtldirae´netE, et on a dψ a (h) = (df a (h), h),∀(a, h)∈E×E. D’autre part, l’applicationφuo(teuP.uotrstcontinqu’elleeire´snofiiae´V.ert2esin-lT, a)∈ L(E)×E, on a

kφ(T, a)k=kT(a)klesskTk L(E) kak, ce qui montre queφcqonueontiestc.eunnenOde´ddtiuφedisterff´neitbaelusrL(E)×Eet on a

(T 2 , h) =φ(T 1 , h) +φ(T+T 2 (a). dφ (T 1 ,a ) 2 , a) =T 1 (h) Parleth´eor`emedediffe´rentiabilit´edesfonctionscompose´es,onobtientdoncqueϕtnere´ffiruselbaitdesE, et on a dϕ a (h) =dφ ψ(a) (dψ a (h)) =dφ (f(a),a) (df a (h), h) =f(a)(h) +df a (h)(a).

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