Universite Claude Bernard Master Algebre

Claude Bernard Master

Description

Niveau: Supérieur, Master

• fiche - matière potentielle : n?1


• fiche - matière potentielle : n?4

Universite Claude Bernard Master 1 Algebre FICHE N?4 : Exercice 1. 1. Montrer que tout sous-groupe de (Z,+) est de la forme nZ avec un entier strictement positif. En deduire l'identite de Bezout. 2. Montrer que (Q?,?) n'est pas de type fini. 3. On considere le groupe G = (R,+) (a) Montrer que les sous-groupes de G sont soit monogenes soit dense. (b) Donner un exemple d'un sous-groupe de G dense et de type fini. (c) Tous les sous-groupes de G sont-ils de type fini ? Exercice 2. Soit G le groupe additif (Q,+). 1. Montrer que pour tout a ? Q?, l'application Q ?? Q, x 7? ax est un automorphisme de G. 2. En deduire que Aut(G) est isomorphe a Q?. Exercice 3. Soit G un groupe est G1, · · · , Gn ses sous-groupes. 1. Montrer que si les sous-groupes G1, · · · , Gn satisfont (a) pour i 6= j, tout element de Gi et celui de Gj commutent et (b) tout element de G peut s'ecrire comme le produit x1 · · ·xn (xi ? Gi) d'une maniere unique, alors l'application suivante est un isomorphisme: f : G1 ? · · · ?Gn ?? G; (x1

• cokerf2


• cokerf1


• k? ??


• h1 cokerf1


• formule de plancherel


• unique x? ?


• produit x1


• b1?? cokerf2 b2??


• groupe fini

Sujets

• Master
• Groupe fini

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• Langue: Français

Extrait

Universit´eClaudeBernard Master1Alg`ebre

◦ FICHE N 4 :

Exercice 1. 1. Montrerque tout sous-groupe de (Z,+) est de la formenZavec un entier strictement positif.En d´eduirel’identit´edeBe´zout. ∗ 2. Montrerque (Q,×) n’est pas de type fini. 3.Onconside`relegroupeG= (R,+) (a) Montrerque les sous-groupes deGnomte`gossendtioense.onsoits (b) Donnerun exemple d’un sous-groupe deGdense et de type fini. (c) Tousles sous-groupes deGsont-ils de type fini ?

Exercice 2.SoitGle groupe additif (Q,+). ∗ 1. Montrerque pour touta∈Q, l’applicationQ−→Q, x7→axest un automorphisme deG. ∗ 2.End´eduirequeAut(Gestia`)rphesomoQ.

Exercice 3.SoitGun groupe estG 1 ,∙ ∙ ∙, G n ses sous-groupes. 1. Montrerque si les sous-groupesG 1 ,∙ ∙ ∙, G n satisfont (a) pouri6=jemtnlee´uo´tdet,G i et celui deG j commutent et (b)toute´l´ementdeGerocmmlest´’ceireupeproduitx 1 ∙ ∙ ∙x n (x i ∈G i menu`ina’d)e,euerquni alors l’application suivante est un isomorphisme: f:G 1 × ∙ ∙ ∙ ×G n −→G; (x 1 ,∙ ∙ ∙, x n )→7−x 1 ∙ ∙ ∙x n .

2. Montrer queGest isomorphe au produit directG 1 ×G 2 ×× ∙∙ ∙G n si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites: (a) Pourtout 1≤i≤n,G i  G. (b)G=G 1 G 2 ∙ ∙ ∙G n . (c) Pourtout 1< i≤n, (G 1 ∙ ∙ ∙G i−1 )∩G i ={e}.

Exercice 4. 1. Soitnun entier tel quen >1. Montrerque le duale deZ/nZ`arphesomoitseZ/nZ. b cc 2. SoitG 1 , G 2 2 groupes finis et on poseG=G 1 ×G 2 que le duale. MontrerGorphe`aetssimoG 1 ×G 2 . 3.Ende´duirequeledualed’ungroupeab´elienfiniGphe`omortssiaeG.

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b ab Exercice 5.SoitGMontrer queun groupe fini.Gisomeste`aorphG:=G/[G, G]. b 1. Dansle casG=H 8 , montrer queGest isomorphe au groupe de KleinV 4 . b 2. Dansle casG=D n , montrer queG`aherpmosotiesV 4 sinee`taprietsaZ/2Zsinest impaire.

Exercice 6.Soitnun entier strictement positif etKAdmettons le fait queun corps commutatif.SL n (F q ) estengendr´eparlestransvections x i,j (t) :=1 n +tE i,j t∈K,1≤i6=j≤n. −1−1 1. Pouri, j, kdistincts, calculerx i,j (a)x j,k (b)x i,j (a)x j,k (bEnsuite, dans le cas) .n= 2, calculer    −1 c0c0 −1 −1 x i,j (a) −1 x i,j (a) pour(i, j) = (1,2) et (2,1). 0c0c 2.Ende´duirequeD(SL n (K)) =SL n (K) si (n,|K|)6= (2,2),(2,3). D’ici, on suppose que (n,|K|)6= (2,2),(2,3). ∗ 3. Montrerque tout morphisme deSL n (K) dansCest trivial. ∗ ∗∗ 4. (a)Montrer que pour tout morphismeχ:GL n (K)−→C, il existe un uniqueχ:K−→Ctel queχ=χ◦det. (b)D´ecrireχdans le casK=CetKfini.

Exercice 7. a) SoitGtner.noMleeian´b12nordreed’oroupgnuuerqGest un produit semi-direct et qu’il y a 3 possibilit´es(`aisomorphismepre`s)(compter les2−Sylow et3−Sylow). 4 3−1 b) Montrerqueha, b:a=b=a bab= 1iest d’ordre 12 et isomorphe au sous-groupe de SL 2 (C) engendre´parlesmatrices:    0 1j0 , . 2 −1 00j 2 26 c) Montrerqueha, b:a=b= (ab) =1idro’21er.dro’dtsepheaomoretisre12ardl´idepudeguor d)Ve´rifierquelegroupeA 4 estltaorsi`imepeossibilit´e.

Exercice 8.Montrer queS 5 `esspoussoundepudeg-orer02o’dr.

Exercice 9.SoitGun groupe d’ordre 20 etn 2 le nombre de 2-Sylow sous-groupes deG. 1. Montrerqu’il existe un seul 5-Sylow sous-groupeSdeGet que le nombren 2 age´1a`ltseuo.5 2. Supposonsquen 2 = 1 et notons le seul 2-Sylow sous-groupe deGparT. (a) MontronsqueGisomorphe`aetsS×T. (b)D´eterminerlespossiblesstructuresdeG. ∼ 3. Supposonsquen 2 = 5 et notons un 2-Sylow sous-groupe deGparTque. MontrerG = SoT.

Exercice 10.Soitpun nombre premier.On pose :F p :=Z/pZ.

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a) Montrerque le sous-groupeUde SL 2 (F p e)gnnerdamrlpa´e:ceriat   1 1 0 1 est unp−Sylow. b)D´eterminerlenormalisateurdeUdans SL 2 (F p tene)edmbrelenouired´edp−Sylow de SL 2 (F p ). c) SoitGun groupe fini etPunp−Sylow deG. MontrerqueN N(P) =N(Pvte)ire´tbesnierqfiec’ue le cas pours SL 2 (F p ).

Exercice 11.Soitpun nombre premier etU={A= (a i,j ) 1≤i,j≤n |a i,i = 1, a i,j = 0 (i > j)}un sous-groupe deGL n (F p ). SoitGunp-sous-groupe deGL n (F p ). 1. MontrerqueUest unp-Sylow sous-groupe deGL n (F p ). 2.Ende´duirequeGnsaus-ouorome`phesitsrguoepedU.

Exercice 12.Soitpun nombre premier. 1.Calculerlenombredes´el´ementsdeS p d’ordrep. 2.Ende´duirelenombredep-Sylow sous-groupe deS p . 3.Al’aideduthe´ore`medeSylow,retrouverlaformuledeWilson(p−1)!≡ −1 modp.

b Exercice 13.SoitGgrunpeouilnebae´tnfieiGupedegroractescaedsere`lG. Pourf∈CGefid´on,tni ˆ b larreatedeFourinsform´ef∈CGpar X −1 b f(χ) :=f(x)χ(x) =|G|hf, χi. x∈G Rappelons que l’on anolahtgo’drooisnelatr´eit: b 0 I. Pourχ, χ∈G, on a ( X X |G|χ= 1, 0 χ(x)χ(x) =|G|δ χ,χ ,en particulier, χ(x) = 0 0χ6= 1. x∈G x∈G II. Pourx, y∈G, on a ( ( X X |G|x=y,|G|x= 1, χ(x)χ(yen particulier,) =χ(x) = 0x6=y0x6= 1. b b χ∈G χ∈G

b ∼ OnremarquequeII.estuncorollairedeI.grˆace`alae´ibudaltiG = G. (Montrer-le.) b 1. SoitNun entier tel queN >1. Expliciterfdans le casG=Z/NZ. D’ici,onconsid`ereungroupeab´elienfinige´ne´ral.

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2. Montrerlaformule d’inversion X X 1 b −1 f=hf, χiχ=f(χ)χ . |G| b b χ∈G χ∈G

3. Montrerlaformule de Plancherel b hf , gbi b =|G|hf, gi G . G 4. Pourf, g∈CGfieinno´d,lteproduit de convolutionf∗gdefetgpar X X −1−1 (f∗g)(x) =f(xy)g(y) =f(y)g(y x). y∈G y∈G Montrer la formule suivante: [ b f∗g=fbg. b Indication: Calculerhf∗g, χipourχ∈G. ⊥ SoitHun sous-groupe deG. L’orthogonaldeHeon´t,Hrapi,e´nfisedt ⊥ b H:={χ∈G|χ(H) = 1}. b ∼ [ ⊥ ⊥⊥ 5. MontrerqueHest un sous-groupe deGet queH = G/H. Enparticulier,|H|=|G|/|H|. 6. Soitf∈CGetHun sous-groupe deG. Montrerlaformule de Poisson X X 1 b f(x) =f(χ). ⊥ |H| ⊥ x∈H χ ∈H Indication: Appliquerla formule de Plancherel en prenant pourgla fonction indicatrice deH.

Exercice 14.SoitG i , H i (1≤i≤3)grouseihmseselrpmosopoqunssneipuS.aseple´bf i :G i −→H i et lediagrammecommutatifsuivantaveclesdeuxlignesexactessontdonne´es: a 1 a 2 // //// G 1 G 2 G 3 0 .   b 1 b 2 // //// 0 H 1 H 2 H 3 1. Montrerquea 1 (Kerf 1 )⊂Kerf 2 et quea 2 (Kerf 2 )⊂Kerf 3 . 0 0 etaMontrer que la suit 2. Posonsa:=a 1 | Kerf 2 :=a 2 | Kerf 2 suivante est exacte:. e 1 1 0 0 a a 1 2 Kerf 1 −→Kerf 2 −→Kerf 3 . 0 Montrer aussi que sia 1 est injectif,al’est aussi. 1 Commeb 1 ◦f 1 (G 1 )⊂Imf 2 etb 2 ◦f 2 (G 2 )⊂Imf 3 , ils induisent les morphismes b 1 : Cokerf 1 −→Cokerf 2 , b 2 : Cokerf 2 −→Cokerf 3 .

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