Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques

Henri Lebesgue

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Faculte des Sciences Departement de Mathematiques Licence de Mathematiques SCL5MT01 –Analyse fonctionnelle Automne 2006 Page web: http : // II. Initiation a l'integrale de Lebesgue Henri Lebesgue (1875–1941) PSfrag replacements Sommes de Lebesgue x a b An An,j ?j ?j?1 ?j f(x) n j 2n j?1 2n

• contexte au fil des paragraphes


• denombrable a1 ?


• tribu


• universite d'orleans faculte des sciences departement de mathematiques


• licence de mathematiques scl5mt01

Sujets

• Lebesgue

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Extrait

Universited’Orleans FacultedesSciences DepartementdeMathematiques

LicencedeMathematiques SCL5MT01 – Analysefonctionnelle Automne 2006

Page web: http :/www.univ–orleans.fr/mapmo/membres/anker/enseignement/AF.html



f(x)

n

j n 2 j1 n 2

II.Initiational’integraledeLebesgue

a

Henri Lebesgue (1875–1941)

Sommes de Lebesgue

A n

A n,j

b

x

LatheoriedeLebesgues’elaboredansuncadretresgeneral.Oncommenceraparcon- sidererdesensemblesX,Y,. . .tout a fait quelconques, puis on particularisera peu a peu lecontexteauldesparagraphes.Danslapratique,onconsidereradeuxcasmodeles: cas discret:X=Nmuni de lamesure de comptage  n  cas continu:X=Rmuni de lamesure de Lebesgue 1. Tribus Denition:SoitXun ensemble quelconque Unetribu(ou–aelgebr) surXest une familleAde parties deXtelle que (i)∅ ∈ A (ii)A:eatrienemlmpcoaugesasaprapelbatstse A∈ A=⇒XrA∈ A (iii)Ableptstaesblra:esesdmbnoasnoulpurrainue A 1 , A 2 . ., .∈ A=⇒A 1 ∪A 2 ∪. . .∈ A Unespace mesurable(X,A) estun ensembleXmuni d’une tribuA Remarques :  laceremppeut),onapr(r)iecaii(aˆrG (i’)X∈ A  aprGpeon),iia(eacrˆ)iii(recalpmertu (iii’)Asestatbleparintersectiasnoulpuedsbmonblra:es A 1 , A 2 , .. .∈ A=⇒A 1 ∩A 2 ∩. . .∈ A A, B∈ A=⇒ArB∈ A  DansAleetuot,noinuerdusplauabbromenA 1 ∪A 2 ∪. . .  peuts’ecrirecommereuniondisjointeB 1 tB 2 t. . . Exemples :  Toute tribuAsurXertneesirpmoctseet:svinaseusˆrmesextribueuxtlesd  latreubirsorgeis{ ∅, X} lasirceettrudibP(X)   snocno,eareredifmentioncontrairSua  buriatletrscdieP(N) dansle casX=N n n  latribelieunbnoerB(Rle cas) dansX=R(voir ci–dessous) Denition–proposition:SoitEune famille de parties d’un ensembleX. L’intersection de toutes les tribus surXqui contiennentEest encore une tribu surX. C’est la plus petite tribu surXcontenantE. On l’appelle laneubdnegeertriparEet on la noteT(E) . Remarque :ribuelatcrirededelicidtnevoutsesIlT(Eureneeapdnrneeg)mifaell donneeEde parties deXrpiteedsuepxortiliselefaut,onu.edAtnaviussiuq,se caracterisentT(E) :  T(Eune tribu contenant) estE. End’autres termes,  T(E) contientE,∅etX  T(Erpassageaucomplementea)itrsetsbaelap  T(Estatlbperarueinsable)esuasnsulpnedrbmoseonnttiseerioct  SiAest une tribu contenantE, alorsAcontientT(E)

Exemple 1:Soit (X, duq.eteircemespa)un LabiburtneenlieorB(X) estla tribu surXretgsndeednreeaplrseuoevX. C’estaussilatribuengendreeparlesfermesdeX. SiddiscanceesurreteidtstsalX, alorsB(Xisudibtrteecraltse)P(X) La tribu borelienneB(Rdeestiartse)egnerlesfamindreepanaetdspellseusviR:  les ouverts deR  mrefseleesdR  les intervalles]a, b[  [les intervallesa, b]  les intervalles[a, b[  ]les intervallesa, b]  les intervalles]a,+∞[  [les intervallesa,+∞[  ]les intervalles ∞, b[ les intervalles] ∞, b]  2 2  La tribu borelienneB(Riussellimafselraepedrenngtees)epartiesdvantesdeR: 2  uoevtr,selsermfesdesprees.lR 2  uqsiuosedselesde,serevtrrempsf.R  les produitsIJd’intervalles (ouverts,fermesoumixtes;delongueurnieouinnie)  suonerpurieeIemedmidnisne Exemple 2:Soient (X,A) et (Y,Bespaces mesurables) deux Latribu produitBA est la tribu surXY engendreeparlesproduitsABavecA∈ AetB∈ B 2  B(R) =B(R) B(R)  dIemidnemeupnsionsreeurie Pourterminer,voicilesdeuxmanieresdetransfererdestribusaumoyend’applications. Denition–proposition:Soitf:X →Yune application entre deux ensembles (i)uqepiorTruiibgemaecr: SoitBune tribu surY. 1 AlorsfB={AX| ∃B∈ Bt.q.A=f(B)}est une tribu surX. (ii)Tribu image directe: SoitAune tribu surX. 1 Alorsf  A={BY|f(B)}∈ Aest une tribu surY. Remarque :,ueeveriemprAB={f(A)|A∈ A}est un candidat plus simple pour denirl’imagedirecte.Maisilnes’agitpasd’unetribusurY.alernegne