Universite d'Orleans Licence de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite d'Orleans Licence de Mathematiques Unite MA 6.06 Mesure et Probabilites corrige du devoir en temps libre no 2 Probleme 1. Les variables aleatoires (X?i )i≥1 sont deux a deux independantes, car elles sont fabriquees a partir des variables aleatoires (Xi)i≥1 qui sont elles memes deux a deux independantes. On a donc Var S?n = n∑ i=1 Var X?i ≤ n∑ i=1 E (X?i )2 ≤ n∑ i=1 E X2i 11Xi≤i ≤ n∑ i=1 E X2111X1≤n = nE X2111X1≤n 2. On a pour tout n |un ? ?n| ≤ 1. Comme ?n tend vers l'infini, on a un ? ?n = o(?n), soit un ? ?n. 1un ? ??n et que la serie a termespositifs ??n est convergence, on a l'equivalence des restes : +∞∑ n=N 1 un ? +∞∑ n=N ??n = (1? ??1)?1??N ? (1? ??1)?1 1uN . 3. La suite uN = ∑+∞ n=N 1 un converge lorsque N tend vers l'infini, elle estdonc bornee par une constante C. 1 Tournez la page S.V.P.

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Sujets

• Théorème de Cesàro
• Probabilité

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universited’Orleans

UniteMA6.06

MesureetProbabilites

o corrigedudevoirentempslibren2

LicencedeMathematiqu

Probleme  1.Lesvariablesaleatoires(X) i1 tdeuxadsondnepetnaixueedncas,r i ellessontfabriqueesapartirdesvariablesaleatoires(X i ) i1 qui sont ellesmˆemesdeuxadeuxindependantes.Onadonc

n X   VarS= VarX n i i=1 n X 2 E(X) i i=1 n X 2 EX i 1 X i i i=1 n X 2 EX 1 1 X 1 n i=1 2 =nEX1 1 X 1 n

n n 2. Ona pour toutn|u n | 1. Commetend vers l’inni, on a n nn 1 n u n  = o (  ), soit u n  .  etquesemretaeiresal u n n positifscoste:esresntceesdvaleequila’,enoegcnvnre +∞+∞ X X 1 1 n11N11 = (1)(1). u n u N n=N n=N P +∞ 1 3. Lasuiteu N lorsque= convergeNtend vers l’inni, elle est n=N u n doncborneeparuneconstanteC.

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