Universite d Orleans Master de Mathematiques
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Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 1 de Mathematiques 1 Mathematiques financieres Corrige de l'examen du 21 decembre 2011 Questions de cours [4 points] 1. Une opportunite d'arbitrage est une strategie d'investissement de portefeuille ? per- mettant, avec une fortune initiale nulle et sans risque, de faire un benefice avec une probabilite positive. En d'autres termes, ? est tel que (a) V0(?) = 0, (b) ?? ? ?, Vn(?)(?) > 0, (c) ?? ? ? t.q. Vn(?)(?) > 0, ou n est la date d'echeance. 2. Un marche financier comportant une opportunite d'arbitrage n'est pas viable. En effet dans un tel marche, des investisseurs pourraient faire un benefice arbitrairement grand sans risque, ce qui rend le marche instable. En pratique cela n'arrive jamais; un modele comportant une opportunite d'arbitrage n'est pas realiste. 3. Un modele binomial dans lequel s0(1+r) 6 s1,1 < s1,2 n'est pas viable car on peut con- struire explicitement une opportunite d'arbitrage. Cette strategie consiste a emprunter la somme ms0 pour acheter m parts de titre risque, c'est-a-dire ?1 = (?ms0,m). La valeur au temps 1 de ce portefeuille sera donnee par V1(?)(? 1) = ?ms0(1 + r) +ms1,1 > 0 , V1(?)(?

  • parts de titres

  • taux de l'actif

  • strategie d'investissement de portefeuille ?

  • titres vendus

  • risque

  • portefeuille de couverture ?

  • strategie

  • loi de x0


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Publié le 01 décembre 2011
Nombre de lectures 34
Langue Français

Exrait

Universit´edOrl´eansMaster1deMath´ematiques
Math´ematiquesnancie`res
Corrig´edelexamendu21d´ecembre2011
1
Questions de cours [4 points] 1.Uneopportunit´edarbitrageestunestrat´egiedinvestissementdeportefeuilleΦper-mettant,avecunefortuneinitialenulleetsansrisque,defaireunbe´ne´ceavecune probabilit´epositive.Endautrestermes,Φesttelque (a)V0(Φ) = 0, (b)ωΩ,Vn(Φ)(ω)>0, (c)ωΩ t.q.Vn(Φ)(ω)>0, ou`ne.h´ecnceatada´deltse 2.Unmarch´enanciercomportantuneopportunite´darbitragenestpasviable.En eetdansuntelmarch´e,desinvestisseurspourraientfaireunb´ene´cearbitrairement grandsansrisque,cequirendlemarch´einstable.Enpratiquecelanarrivejamais; unmode`lecomportantuneopportunite´darbitragenestpasre´aliste. 3.Unmode`lebinomialdanslequels0(1+r)6s1,1< s1,2n’est pas viable car on peut con-struireexplicitementuneopportunit´edarbitrage.Cettestrate´gieconsistea`emprunter la sommems0pour achetermerirqs´u,ecse-tpartsdetitΦerid-a`1= (ms0, m). La valeurautemps1deceportefeuilleseradonne´epar 1 V1(Φ)(ω) =ms0(1 +r) +ms1,1>0, 2 V1(Φ)(ω) =ms0(1 +r) +ms1,2>0. Onpeutdoncvendrelestitresrisque´spourrembourserleprˆetinitialetfaireun 2 b´ene´cedanslecasω. 4. Laprincipale limitation de la formule de Black–Scholes est que l’on ne connaˆıt pas la volatilite´σeuasnodsophtxuyhssim`esecatrplitel:secixua.aylIaudestrmilitita delactifnonrisqu´eestsuppose´connuetxe;lerendementdelactifrisqu´eneprend quedeuxvaleurs;onn´egligelecouˆtdestransactionsetleserreursdarrondi...
Proble`me1[8points] 1.IlyaplusieurschoixpossiblesduniversΩ.Unepossibilite´estdeprendreΩ= {0,1,2} × {0,1,2,3,4}o,u`ω= (ω1, ω2)Ω avecωnle nombre de couples de de-scendantsa`lage´n´erationnUn.ociuq(xiohcertua`alastrurrespondbrer)tcrueean est de poser Ωn,i={0,1,2}pour le nombre de couples descendant du coupleide la ge´ne´rationnet de prendre Ω = Ω0,1×Ω1,1×Ω1,2ce cas certaines “branches”. Dans aurontuneprobabilit´enulle. Laltrationcanoniquepeuteˆtrede´niepar
F0={∅,Ω}, F1={∅,Ω, A0, A1, A2, A0A1, A0A2, A1A2}, F2=P(Ω),
ou`Ai={X1=i}elrpmeeinemenetstl´ev´eaelpuocricouples de descendants”.
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