Universite d'Orleans Master de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 1 de Mathematiques 1 Mathematiques financieres Corrige de l'examen du 21 decembre 2011 Questions de cours [4 points] 1. Une opportunite d'arbitrage est une strategie d'investissement de portefeuille ? per- mettant, avec une fortune initiale nulle et sans risque, de faire un benefice avec une probabilite positive. En d'autres termes, ? est tel que (a) V0(?) = 0, (b) ?? ? ?, Vn(?)(?) > 0, (c) ?? ? ? t.q. Vn(?)(?) > 0, ou n est la date d'echeance. 2. Un marche financier comportant une opportunite d'arbitrage n'est pas viable. En effet dans un tel marche, des investisseurs pourraient faire un benefice arbitrairement grand sans risque, ce qui rend le marche instable. En pratique cela n'arrive jamais; un modele comportant une opportunite d'arbitrage n'est pas realiste. 3. Un modele binomial dans lequel s0(1+r) 6 s1,1 < s1,2 n'est pas viable car on peut con- struire explicitement une opportunite d'arbitrage. Cette strategie consiste a emprunter la somme ms0 pour acheter m parts de titre risque, c'est-a-dire ?1 = (?ms0,m). La valeur au temps 1 de ce portefeuille sera donnee par V1(?)(? 1) = ?ms0(1 + r) +ms1,1 > 0 , V1(?)(?

• parts de titres


• taux de l'actif


• strategie d'investissement de portefeuille ?


• titres vendus


• risque


• portefeuille de couverture ?


• strategie


• loi de x0

Sujets

• Risqué
• Stratégie

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 décembre 2011
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans–Master1deMath´ematiques

Math´ematiquesfinancie`res

Corrig´edel’examendu21d´ecembre2011

1

Questions de cours [4 points] 1.Uneopportunit´ed’arbitrageestunestrat´egied’investissementdeportefeuilleΦper- mettant,avecunefortuneinitialenulleetsansrisque,defaireunbe´ne´ficeavecune probabilit´epositive.End’autrestermes,Φesttelque (a)V 0 (Φ) = 0, (b)∀ω∈Ω,V n (Φ)(ω)>0, (c)∃ω∈Ω t.q.V n (Φ)(ω)>0, ou`ne.h´ecnceatada´’deltse 2.Unmarch´efinanciercomportantuneopportunite´d’arbitragen’estpasviable.En effetdansuntelmarch´e,desinvestisseurspourraientfaireunb´ene´ficearbitrairement grandsansrisque,cequirendlemarch´einstable.Enpratiquecelan’arrivejamais; unmode`lecomportantuneopportunite´d’arbitragen’estpasre´aliste. 3.Unmode`lebinomialdanslequels 0 (1+r)6s 1,1 < s 1,2 n’est pas viable car on peut con- struireexplicitementuneopportunit´ed’arbitrage.Cettestrate´gieconsistea`emprunter la sommems 0 pour achetermerirqs´u,e’cse-tpartsdetitΦerid-a` 1 = (−ms 0 , m). La valeurautemps1deceportefeuilleseradonne´epar 1 V 1 (Φ)(ω) =−ms 0 (1 +r) +ms 1,1 >0, 2 V 1 (Φ)(ω) =−ms 0 (1 +r) +ms 1,2 >0. Onpeutdoncvendrelestitresrisque´spourrembourserleprˆetinitialetfaireun 2 b´ene´ficedanslecasω. 4. Laprincipale limitation de la formule de Black–Scholes est que l’on ne connaˆıt pas la volatilite´σeuasnodsophtxuyhssim`esecatrplifitel:secixua.aylIaud’estrmilitita del’actifnonrisqu´eestsuppose´connuetfixe;lerendementdel’actifrisqu´eneprend quedeuxvaleurs;onn´egligelecouˆtdestransactionsetleserreursd’arrondi...

Proble`me1[8points] 1.Ilyaplusieurschoixpossiblesd’universΩ.Unepossibilite´estdeprendreΩ= {0,1,2} × {0,1,2,3,4}o,u`ω= (ω 1 , ω 2 )∈Ω avecω n le nombre de couples de de- scendantsa`lage´n´erationnUn.ociuq(xiohcertua`alastrurrespondbrer)tcrueean est de poser Ω n,i ={0,1,2}pour le nombre de couples descendant du coupleide la ge´ne´rationnet de prendre Ω = Ω 0,1 ×Ω 1,1 ×Ω 1,2 ce cas certaines “branches”. Dans aurontuneprobabilit´enulle. Lafiltrationcanoniquepeuteˆtrede´finiepar

F 0 ={∅,Ω}, F 1 ={∅,Ω, A 0 , A 1 , A 2 , A 0 ∪A 1 , A 0 ∪A 2 , A 1 ∪A 2 }, F 2 =P(Ω),

ou`A i ={X 1 =i}elrpmeeinemene“tstl’´ev´eaelpuocricouples de descendants”.