Université d Orléans Master Econométrie et Statistique Appliquée

Description

Niveau: Supérieur, Master
Université d?Orléans - Master Econométrie et Statistique Appliquée Econométrie des Variables Qualitatives Examen Mai 2008. C. Hurlin Exercice 1 : Modèle Logit Ordonné (9 points) Soit yi une variable multinomiale associée à l?individu i pouvant prendre 3 modalités, notées respectivement 0,1 et 2. On suppose que cette variable admet une représentation telle que : yi = 8 >< >: 0 1 2 si yi < 1 si 1 yi < 2 si yi 2 8i = 1; ::; N (1) où la variable latente yi véri?e : yi = 0 + 1xi + 2zi + i (2) où xi et zi désignent deux variables explicatives. On admet que les termes d?erreur i sont i:i:d: et sont distribués selon une loi logistique de variance égale à 2. On note (:) la fonction de répartition de la loi logistique standard de variance égale à 2=3; telle que : (!) = 1 1 + exp (!) (3) Question 1 (2 points) : Donnez l?expression des probabilités Pr (yi = 0) ; Pr (yi = 1) et Pr (yi = 2) en fonction de (:) et des paramètres 0; 1, 2; 1; 2 et .

• gempl taux de croissance annuel des e?ectifs


• modèle logit


• hurlin - master esa


• loi logistique de variance égale


• yd variable


• variables yi


• modèle de scoring sur les défaillances d?entreprises

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 mai 2008
• Nombre de lectures: 72
• Langue: Français

Extrait

Université dOrléans - Master Econométrie et Statistique Appliquée Econométrie des Variables Qualitatives

Examen Mai 2008.C. Hurlin

Exercice 1 :Modèle Logit Ordonné (9 points)

Soity i une variable multinomiale associée à lindividuipouvant prendre 3 modalités, notées respectivement 0,1 et 2.On suppose que cette variable admet une représentation telle que : 8  > 0 siy < 1 i <  1 siy < 8i= 1; ::; N(1) y i = 1 i 2 > :  2 siy i 2  où la variable latenteyvérie : i  y=+ x+z+" i 0 1 i  2 i i (2) oùx i etz i On admet que les termes derreurdésignent deux variables explicatives." i sonti:i:d: 2 et sont distribués selon une loi logistique de variance égale à. " 2 On note (:)la fonction de répartition de la loi logistique standard de variance égale à =3; telle que : 1  (!) =(3) 1 + exp (!) Question 1(2 points)lexpression des probabilités: DonnezPr (y i = 0);Pr (y i = 1)et ; , ;  ; et Pr (y i = 2)en fonction de (:)et des paramètres 2 1 20 1 " . Question 2(1 point): Onconsidère une représentation de type modèle logit multinomial ordonné pouvant sécrire sous la forme suivante : Pr (y i =j() = c j+1 w i ) (c j w i )8j2 f0;1;2g(4) 0 où= ( 0  1  2 )désigne le vecteur des paramètres,w i = (1x i z i )désigne le vecteur des variables explicatives et où les seuilsc j vérientc 0 =1etc 3 = +1:Exprimez les paramètres du logit multinomial ordonnée ( 0 ;  1 ;  2 ; c 1 ; c 2 ) en fonction des paramètres structurels du modèle précédent ( ; , ;  ;  ;  " ).Vous discuterezRemarque : 0 12 1 2 précisèment le cas de la constante 0 : Question 3(1 point): Onconsidère les estimateurs du maximum de vraisemblance des paramètres du modèle logit multinomial ordonné (4) obtenus à partir dunN-échantillon N fy i ; x i ; z i g:On admet que les réalisations de ces estimateurs sont : i=1 b= 0b= 4b=2cb= 0:5cb= 1(5) 0 1 21 2 Pour un individuitel quex i = 1etz i = 1:75;déterminez les probabilitésPr (y i = 0); Pr (y i = 1)etPr (y i = 2). Question 4(2 points)la vraisemblance associée à un individu: Ecrivezien fonction de ses caractéristiquesx i etz i ;ainsi que des paramètres du modèle logit multinomial ordonné (4). Endéduire la valeur de cette vraisemblance pour un individu pour lequel on observe y i = 1; x i = 1; z i = 1:75lorsque lon suppose que les paramètres sont égaux à leur valeur estimée (5).