Universite d'Orleans Master Pro de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Pro de Mathematiques 1 TD Master 2 – Mathematiques financieres Corrige Serie 3 – Diffusions Exercice 1 On considere la diffusion definie par l'equation dXt = ?Xt dt+ dBt (processus d'Ornstein–Uhlenbeck). 1. Donner le generateur L associe et son adjoint L?. L = ?x ∂ ∂x + 1 2 ∂2 ∂x2 , L?? = ∂ ∂x ( x? ) + 1 2 ∂2? ∂x2 . 2. Soit ?(x) = pi?1/2 e?x 2 . Calculer L??(x). Que peut-on en conclure? On trouve L?? = 0. Par consequent, ?(x) est une solution stationnaire de l'equation de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck) ∂tu = L?u, ce qui signifie que c'est une mesure invariante du systeme : Si X0 suit la loi ?, alors Xt suit la meme loi pour tout t > 0. Remarquons que ? est la densite d'une variable aleatoire normale, centree, de variance 1/2. Nous avons deja obtenu dans la serie 1, exercice 1, que ? est la loi asymptotique de la solution de la meme EDS avec X0 = 0. En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi de Xt tend vers la distribution stationnaire ?. Exercice 2 On considere la diffusion definie par l'equation dXt = Xt dBt .

• solution stationnaire de l'equation de kolmogorov progressive


• diffusion definie par l'equation


• x? ?


• loi asymptotique de la solution de la meme eds avec x0


• solution generale


• loi de xt

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
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• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans–Master2ProdeMath´ematiques

1

TDMaster2–Math´ematiquesfinancie`res Corrige´Se´rie3–Diffusions Exercice 1 Onconside`reladiffusionde´finieparl’´equation dX t =−X t dt+ dB t (processus d’Ornstein–Uhlenbeck). ∗ 1.ruetan´ereg´enerlDonLtee´icossantoidjnasoL. 2 2   ∂1∂ ∂1∂ ρ ∗ L=−x+ρ, L=xρ+. 2 2 ∂x2∂x ∂x2∂x 2 −1/2−x∗ 2.Soitρ(x) =πe. CalculerL ρ(x). Quepeut-on en conclure? ∗ On trouveL ρne,te´uq=0cons.Parρ(x´el’atquainnderetsnooitaosenitulseut)oin ∗ de Kolmogorov progressive (ou de Fokker–Planck)∂ t u=L u, ce qui signifie que c’est unemesureinvariantedusyst`eme:SiX 0 suit la loiρ, alorsX t meˆeamtlrouiplosiu toutt >0. Remarquons queρnaeceal´irtoorenlemanec,e´rted,eiravestladensite´’dnuveraailbae 1/crexe,1eire´salsue,qe1icvanooNsu.2udanbtenj`aosd´eρest la loi asymptotique delasolutiondelamˆemeEDSavecX 0 = 0.En fait on peut montrer que pour toute distribution initiale, la loi deX t tend vers la distribution stationnaireρ. Exercice 2 Onconsid`ereladiffusionde´finieparl’e´quation dX t =X t dB t . 1.atern´´eegrlneonDuerL.ice´saos 2 1∂ 2 L=x . 2 2∂x 2.rouvToin´el’atqura´edelenoitne´galreulosLu= 0. 00 On aLu= 0 siu(x0g,´deonn´terlaasoluti)o=nelsetu(x) =c 1 x+c 2 . x 3.irdueE´endP{τ a < τ b }u`o,τ a prempsdeetemotelegedsaaseiprne´dX t ena. x Indication: Ils’agit de calculerE(ψ(X τ ))o,u`τosereitredetsletempsdepremi`e [a, b], etψ(a) = 1,ψ(b) = 0. x On sait queu(x) =P{τ a < τ b }borpudnoeme`lelutistso   Lu(xpour) = 0x∈[a, b] ,  u(a) = 1,   u(b) = 0. Ensubstituantlasolutiong´en´eraledanslesconditionsauxbords,onpeutde´terminer lesconstantesd’int´egrationc 1 etc 2 o’d,alu`ulosnoit b−x x P{τ a < τ b }=. b−a