Universite d'Orleans Master Professionnel de Mathematiques

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite d'Orleans – Master 2 Professionnel de Mathematiques 2009-10 1 TD Master 2 – Mathematiques financieres Corrige Serie 1 – Integrales stochastiques Exercice 1 Soit h : R ? R une fonction deterministe, de carre integrable, et soit Xt = ∫ t 0 h(s) dBs ? 1 2 ∫ t 0 h(s)2 ds . Soit Yt = eXt. 1. Calculer dYt a l'aide de la formule d'Ito. Comme dXt = h(t) dBt ? 1 2 h(t)2 dt , la formule d'Ito (avec u(t, x) = ex et dX2t = h(t) 2 dt) donne dYt = e Xt dXt + 1 2 eXt dX2t = eXt h(t) dBt ? 1 2 eXt h(t)2 dt+ 1 2 eXt h(t)2 dt = h(t)Yt dBt . 2. Soit N une variable aleatoire normale centree, de variance ?2. Montrer que E (eN ) = e? 2/2 En completant le carre [x? x2/2?2 = ?2/2? (x? ?2)2/2?2], il vient E (eN ) = ∫ ∞ ?∞ ex e?x 2/2?2 √ 2pi?2 dx = e? 2/2 ∫ ∞ ?∞ e?(x?? 2)2/2?2 √ 2pi?2 dx = e? 2/2 .

• combinaison lineaire de variables normales


• loi normale


• yt


• centree


• centree de variance


• variable y∞


• isometrie d'ito


• dt

Sujets

• Loi normale

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Nombre de lectures: 21
• Langue: Français

Extrait

Universit´ed’Orl´eans–Master2ProfessionneldeMathe´matiques2009-10

1

TDMaster2–Math´ematiquesfinancie`res Corrig´eS´erie1–Inte´gralesstochastiques Exercice 1 Soith:R→Re,stbaele´rgietnoitdnoiete´fenutcnoec,dr´arinrmteis Z Z t t 1 2 X t =h(s) dB s −h(s) ds . 2 0 0 X t SoitY t = e. 1.CalculerdY t ofallumrI’de.oˆt`aail’dede Comme 1 2 dX t =h(t) dB t −h(t) dt , 2 x2 2 laformuled’Itˆo(avecu(t, xet d) = eX=h(t) dt) donne t 1 X t X t 2 dY= e t e dX t + dX t 2 1 1 X t X t 2X t 2 = eh(t) dB t −eh(t) dt+ eh(t) dt 2 2 =h(t)Y t dB t . 2 2.SoitNvadee,´etrenecalmroneriotae´laelnevariabuecirnaσ. Montrerque 2 N σ/2 E= e(e ) 2 22 22 2 Encompl´etantlecarr´e[x−x /2σ=σ /2−(x−σ)/2σ], il vient Z 2 2 Z 22 2 ∞ − x /2σ ∞ − (x−σ)/2σ e e 2 2 N xσ /2σ /2 E= e(e ) √ dx= e √ dx= e. 2 2 −∞ 2πσ −∞ 2πσ 3.eeruq´dnEiudeY t est une martingale. Soitt > s>erirce´tuepnO.0 Z Z t t 1 2−β/2N Y t =Y s exph(u) dB u −h(u) du= eY s e 2 s s Z Z t t 2 avecβ=h(u) duetN=h(u) dB u . CommeY s ⊆ F s etN⊥ F s , s s −β/2N E(Y t |F s ) = eY s E(e ). OrNectnameld,ve´reeuitusinorneloiaarencβi’le´mosirteI’detˆo.Parveenudrt N β/2 cons´equent,Ee()e=,ecagelinrtmade´eeti´prorpaleuqilpmiiuqE(Y t |F s ) =Y s . Remarque:Un autre raisonnement possible est d’observer qu’en vertu de 1., Z t Y t =Y 0 +h(s)Y s dB s 0 quiestunemartingale,puisquec’estl’inte´graled’Itoˆd’unprocessusadapt´e. 4.CalculerE(Y t ). Y t ,olegainrtmanetutena´anE(Y t ) =E(Y t |F 0 ) =E(Y 0 ) = 1.