Universite de Nancy I Licence

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nancy I Licence 3 Integration et Probabilites Corrige de l'examen du 22 octobre 2009 Commentaires generaux 54 etudiants ont compose, aucune copie vide n'a ete rendue. Le sujet etait un peu long, aussi le bareme etait-il sur 31.5. Les notes ont ensuite ete multipliees par 1.1, puis arrondies au demi-entier le plus proche. Ainsi la meilleure note possible etait de 35. La meilleure note observee est 31, ramenee a 20 ainsi que 23.5,23,20.5. La mediane est de 8.5, le premier quartile de 11,5 et le troisieme quartile de 5,5. La moyenne des notes (apres ecretage a 20) est de 9,07. Exercice I Le premier exercice est assez proche de plusieurs exercices faits en TD. Le cours est assez bien appris, comme en temoigne le petit nombre de notes tres faibles (la moyenne des notes est de 3.7/8). Cependant, le manque d'habitude des raisonne- ments sur les sup se fait sentir : finalement seules 8 copies sur 54 atteignant une note superieure ou egale a 6/8 a cet exercice, ce qui est un peu decevant. Rappelons quelques regles d'hygiene mathematique : on ne peut jamais parler d'un element sans avoir precise dans quel ensemble il vivait ; de la meme maniere un sup est toujours pris sur un certain ensemble : l'ecriture sup an n'a pas de sens, tout au plus peut-elle etre toleree dans des contextes bien precis, que seuls des mathematiciens aguerris peuvent identifier1 Plusieurs copies laissent penser que l'identite

• theoreme de continuite sequentielle


• mot sur la stabilite par union denombrable


• exercices d'integration en td


• version erronnee du theoreme de convergence monotone

Informations

• Publié par: thieg
• Publié le: 01 octobre 2009
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

UniversitedeNancyI

IntegrationetProbabilites

Licence 3

Corrigedel’examendu22octobre2009 Commentairesgeneraux 54etudiantsontcompose,aucunecopieviden’aeterendue.Lesujetetaitun peulong,aussilebaremeetait-ilsur31.5.Lesnotesontensuiteetemultiplieespar 1.1, puis arrondies au demi-entier le plus proche. Ainsi la meilleure note possible etaitde35.Lameilleurenoteobserveeest31,rameneea20ainsique23.5,23,20.5. Lamedianeestde8.5,lepremierquartilede11,5etletroisiemequartilede5,5. Lamoyennedesnotes(apresecretagea20)estde9,07. Exercice I Le premier exercice est assez proche de plusieurs exercices faits en TD. Le cours estassezbienappris,commeentemoignelepetitnombredenotestresfaibles(la moyenne des notes est de 3.7/8). Cependant, le manque d’habitude des raisonne- ments sur les sup se fait sentir : nalement seules 8 copies sur 54 atteignant une notesuperieureouegalea6/8acetexercice,cequiestunpeudecevant. Rappelonsquelquesreglesd’hygienemathematique:onnepeutjamaisparler d’unelementsansavoirprecisedansquelensembleilvivait;delamˆememaniere unsupesttoujoursprissuruncertainensemble:l’ecrituresupa n n’a pas de sens, toutaupluspeut-elleˆetretolereedansdescontextesbienprecis,queseulsdes 1 mathematiciensaguerrispeuventidentier Plusieurscopieslaissentpenserquel’identite

lim ( a n +b n ) = lim a n + lim b n n→+∞n→+∞n→+∞ peutˆetreutiliseesansprobleme.C’estuneerreur:onnepeutl’utiliserqu’unefois qu’ilaeteetabliquelessuites(a n ) n1 et (b n ) n1 admettent chacune une limite. Plusieurscopiessemblentutiliserquel’onpeutcomposerlesequivalents:c’est 2 2 2n+n faux ;par exemple au voisinage de l’innin+nnmaisen’est pas 2 n equivalentae(le quotient tend vers l’inni). n∞ On a lu plusieurs fois que lim n→+∞ (1 + 1/n) =1 : je rappelle que 1est une formeindeterminee;danscecas,ilfautsouvent,commeici,passeraulogarithme, regarderlalimitedulog,puisutiliserlacontinuitedel’exponentiellesurR. 0 0 1. Posonsa = limsup a n ,b = limsup b n . Soitaa >etbb >quelconques. n→+∞n→+∞ 0 Il existeN 0 entier tel quenN 0 entraˆnea n a. Il existeN 1 entier tel 0 00 quenN 1 enˆartenb n b. Pournmax(N 0 , N 1 ), on aa n +b n a+b, ce qui entraˆne 0 0 lim sup (a n +b n )a+b . n→+∞ 0 00 Enprenantlaborneinferieuresurtouslescouples(ba ,) aveca >aet 0 b >b, on obtient lim sup (a n +b n )a+b. n→+∞ 1 Si un enseignant emploie ce genre d’abus de notation devant vous, vous devez lui demander une clarication.

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