Universite de Nancy I Master

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Examen du 13 octobre 2007 duree 3h Les documents papier (livres, polycopies, notes manuscrites,. . .) sont autorises. Les calculatrices respectant la reglementation (dimensions inferieures a 15 cm par 20 cm, alimentation autonome, pas d'imprimante) sont autorisees. Tout instrument de communication, qu'il en soit fait ou non usage, est interdit. Toutes les variables aleatoires considerees dans ce probleme sont a valeurs reelles et definies sur un meme espace de probabilite (?,F ,P). L'operateur d'esperance est note E. L'expression “presque surement” est parfois abregee en p.s., tandis que la convergence en moyenne quadratique est appelee convergence dans L2. Tout resultat donne dans l'enonce peut etre admis pour traiter les questions suivantes. – I – (?p)p?Z est une suite de reels positifs tels que ∑ p?Z ?p < +∞. Soit (Zn)n≥0 une suite de variables aleatoires de carres integrables telles que, quels que soient les entiers naturels i et j, on ait E[Zi] = 0, E|ZiZj | ≤ ?i?j . On pose U0 = 0 et, pour n ≥ 1, Un = ∑n k=1 Zk. 1. Montrer que, pour tout n ≥ 0 et k ≥ 0, on a E[(Un+k ? Un)2] ≤ n+k∑ i=n+1 n+k∑ j=n+1 ?i?j

• critere fondamental de convergence


• critere fon- damental de convergence


• convergence dans l2


• variables aleatoires


• serie


• n2 ≤


• convergence en probabilite

Sujets

• Variable aléatoire

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 octobre 2007
• Nombre de lectures: 22
• Langue: Français

Extrait

Universit´ de Nancy I

Probabilit´s et Mod´lisation Stochastique

Examen du 13 octobre 2007

dur´e 3h

Les documents papier (livres, polycopi´s, notes manuscrites,.. .)sont autoris´s.
Les calculatrices respectant la r`glementation (dimensions inf´rieures ` 15 cm par
20 cm, alimentation autonome, pas d’imprimante) sont autoris´es.
Tout instrument de communication, qu’il en soit fait ou non usage, est interdit.

Master 1

Toutes les variables al´atoires consid´r´es dans ce probl`me sont ` valeurs
r´elles et d´finies sur un mˆme espace de probabilit´ (Ω,F,P). L’op´rateur d’esp´rance
est not´E. L’expression “presque sˆrement” est parfois abr´g´e en p.s., tandis que
2
la convergence en moyenne quadratique est appel´e convergence dansL. Tout
r´sultat donn´ dans l’´nonc´ peut ˆtre admis pour traiter les questions suivantes.

– I –
X
(γp)p∈Zest une suite de r´els positifs tels queγp<+∞.
p∈Z
Soit (Zn)n≥0une suite de variables al´atoires de carr´s int´grables telles que, quels
que soient les entiers naturelsietj, on ait

E[Zi] = 0,E|ZiZj| ≤γi−j.
P
n
On poseU0= 0 et, pourn≥1,Un=Zk.
k=1
1. Montrerque, pour toutn≥0 etk≥0, on a

2.

n+k n+k
X X
2
E[(Un+k−Un) ]≤γi−j.
i=n+1j=n+1

En d´duire qu’il existe une constanteMtelle que, pour toutn≥0 etk≥0,
on a
2
E[(Un+k−Un) ]≤M k.
(a) Pourε >0, ´tablir la convergence de la s´rie de terme g´n´ral

2
un=P(|Un|> εn).
2

U2
n
(b) Prouverque la suite (2)n≥1converge presque sˆrement vers 0.
n
3. Onpose, pourn≥1,

2 2
Vn= max{|Uk−Un|:k <n <(n+ 1)}.
2

(a) Soitε >0. Justifier l’in´galit´

2
P(Vn> εn)≤

2
(n+1)−1
P
2
P(|Uk−Un|> εn).
2
2
k=n+1

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