Universite de Nancy I Master

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite de Nancy I Master 1 Probabilites et Modelisation Stochastique Corrige de l'examen du 22 janvier 2009 (deuxieme session, duree 3h) – I – 1. Tout d'abord, remarquons que Yn est une variable aleatoire bornee (elle est bornee par 1(cos?)n . Ainsi les variables considerees ont bien integrables et admettent bien des esperances conditionnelles. Pour simplifier les ecritures, posons Zn = ?(Sn ? c?d2 )) : on a cos(Zn+1) = cos(Zn+?Xn+1) = cos(Zn) cos(?Xn+1)? sin(Zn) sin(?Xn+1). Zn est Fn-mesurable, donc E[cos(Zn+1)|Fn] = cos(Zn)E[cos(?Xn+1)|Fn]? sin(Zn)E[sin(?Xn+1)|Fn]. Cependant cos(?Xn+1) est sin(?Xn+1) sont independants de Fn, donc E[cos(?Xn+1)|Fn] = E[cos(?Xn+1)] = cos?, tandis que E[sin(?Xn+1)|Fn] = E[sin(?Xn+1)] = 0. Ainsi E[cos(Zn+1)|Fn] = cos? cos(Zn), d'ou il vient que E[Yn+1|Fn] = Yn, ce qui montre bien que Yn estd'ou il S2n+1 = (Sn +Xn+1)2 = S2n +X2n+1

• theoreme de conver- gence monotone


• deduit avec la question precedente


• martingale adaptee


• theoreme de continuite sequentielle decroissante


• xt ≥


• xt ?


• theoreme de convergence dominee

Sujets

• Théorème de convergence dominée

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 janvier 2009
• Nombre de lectures: 28

Extrait

UniversitedeNancyI

ProbabilitesetModelisationStochastique

Corrigedel’examendu22janvier2009 (deuxiemesession,duree3h) – I –

Master 1

1. Toutd’abord, remarquons queY n tslleeelbailaenutsravenor(eeetoeaebir 1 borneepar n esgitleb.lArianetesdisnocselbairavsinenbintsoeere (cos) admettentbiendesesperancesconditionnelles.Poursimplierlesecritures, cd posonsZ n =(S n )) : on a 2 cos(Z n+1 ) = cos(Z n +X n+1 ) = cos(Z n ) cos(X n+1 )sin(Z n ) sin(X n+1 ). Z n estF n -mesurable, donc E[cos(Z n+1 )|F n ] = cos(Z n )E[cos(X n+1 )|F n ]sin(Z n )E[sin(X n+1 )|F n ]. Cependant cos(X n+1 ) est sin(X n+1 enepdinesdntdaostn)F n , doncE[cos(X n+1 )|F n ] = E[cos(X n+1 )] = cos, tandis queE[sin(X n+1 )|F n ] =E[sin(X n+1 )] = 0. Ainsi E[cos(Z n+1 )|F n ] = coscos(Z n ), d’ouilvientque E[Y n+1 |F n ] =Y n , ce qui montre bien queY n td’ouiles 2 22 22 S= (S=S+X+ 2S X=S+ 1 + 2S X, n+1 n +X n+1 ) n n+1 n n+1nn n+1 carX n+1 ∈ {1,1}. Par suite ∀n0Y n+1 =Y n + 2S n X n+1 . S n seion(tpaaeelaltartneturtmagainadleF n ) n0 . 2.Tlttemesp’dnerte(etiusaledeesS n ) n0 enlieorebsland]∞d]∪[c,+∞[. Comme (S n ) n0 tadaes(ontlaitaretplaeF n ) n0 (on a vu que pour tout n,S n estF n -mesurable), il s’ensuit queTlaestptdaaea’rreˆatnuetpmds ltration (F n ) n0 . Mais (Y n ) n0 marttuneeseeapateldaniagnioattrlla (F n ) n0 em’draˆrteidqteulorsqu’onarrˆetemenuitralagneeroehtel,rO. adapteeauneltrationparuntempsd’arrˆetadaptealameˆmeltration,le processusobtenuestencoreunemartingaleadapteeacetteltration.Ainsi (Y T∧n ) n0 itartlalaeetpdaeaalngtiaremunetson(F n ) n0 . On va montrer queS T∧n ∈ {c;c+ 1;. . . d1;d}. On raisonne iciωpar ωendanceenm,eˆemisaldpeωsspaneurgearchurpmieessopeticilestlair lesecritures. PardenitiondeT, on sait queS n ∈/] ∞ d]∪[c,+∞[ pourn < T. Si T= +∞, alors on a pour toutn,n < Tetc < S T∧n <d. Supposons doncTni. Comme (|S n |tesalav)ereno,ssrueitneru,aopn < T,c < S T∧n < d. CommeS T =S T1 +X T , on a alorsS T =S T1 +X T 

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