Universite de Nice L3 MASS annee Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice L3 MASS, annee 2010-2011 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) Lec¸on 7 : Le modele de Ho et Lee 1 Le modele de Ho et Lee pour les zero-coupons On veut maintenant introduire l'equivalent, pour les taux d'interet, du modele de Cox-Ross-Rubinstein pour les actions, c'est-a-dire un modele binomial. Comme il s'agit cette fois d'un modele de taux, sa par- ticularite est que les valeurs de la marche aleatoire ne sont plus des nombres mais des courbes representant la valeur “presente” (a t = 0) d'un euro a la date T . T 7? ZTt = Z(t, T ) , t ≤ T ≤ Tmax , t ? T := [0..Tmax]?t , ?t := Tmax/n. L'idee de ce modele est de generaliser au cas stochastique la relation Z(t, u)Z(u, v) = Z(t, v) pour tout t ≤ u ≤ v, appelee relation de rollover. Dans le cas de taux d'interet deterministes, il est en effet facile de se convaincre que cette relation doit etre satisfaite puisque le terme de gauche est precisement egal a la quantite a investir a l'instant t pour avoir en u le montant precis qu'il faut investir a cet instant pour avoir un Euros a l'instant v.

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Langue Français

Exrait

Universit´e de Nice L3 MASS, ann´ee 2010-2011
D´epartement de Math´ematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2)
Le¸con 7 : Le mod`ele de Ho et Lee
1 Le mod`ele de Ho et Lee pour les z´ero-coupons
Onveutmaintenantintroduirel’´equivalent,pourlestauxd’int´erˆet,dumod`eledeCox-Ross-Rubinstein
pour les actions, c’est-`a-dire un mod`ele binomial. Comme il s’agit cette fois d’un mod`ele de taux, sa par-
ticularit´eestquelesvaleursdelamarcheal´eatoirenesontplusdes nombres maisdes courbes repr´esentant
la valeur “pr´esente” (`a t =0) d’un euro a` la date T.
TT 7→Z =Z(t,T),t≤T ≤T ,t∈T := [0..T ] ,δt:=T /n.max max δt maxt
L’id´ee de ce mod`ele est de g´en´eraliser au cas stochastique la relation Z(t,u)Z(u,v)=Z(t,v) pour tout
t ≤ u≤ v, appel´ee relation de rollover. Dans le cas de taux d’int´erˆet d´eterministes, il est en effet facile
de se convaincre que cette relation doit ˆetre satisfaite puisque le terme de gauche est pr´ecis´ement ´egal
a` la quantit´e a` investir a` l’instant t pour avoir en u le montant pr´ecis qu’il faut investir a` cet instant
pour avoir un Euros `a l’instant v. Mais ceci est aussi la quantit´e ´egale au terme de droite. Lorsqu’on
Z(t,v)
r´e´ecrit cette relation sous la forme, Z(u,v)= , on remarque que les valeurs de Z(t,u)etZ(t,v)Z(t,u)
´etant connues a` l’instant t, la relation permet de pr´evoir a` l’instant t la valeur de Z(u,v) qui, elle, est
inconnue a` cette date. Pour leur mod`ele stochastique Ho et Lee ont eu l’id´ee de transformer cette ´egalit´e
en une r´ecurrence stochastique
Z(t,v) u,vZ(u,v)= H . (1)tZ(t,u)
u,v
o`u les H sont al´eatoires.Plus pr´ecis´ement,on se donne une fonction d´eterministe (θ,x)7→ η(θ,x) (quet
l’on pr´esisera plus loin) telle que
TZT t TZ = η (θ(t+δt),X ), (2)t+δt t+δtt+δtZt
To`u θ (t):=T −t est le temps qui reste jusqu’`a la maturit´e T. L’id´ee de ce mod`ele est illustr´ee par la
figure suivante tir´ee de l’article original de Ho et Lee.
Comme dans le mod`ele de Cox-Ross-Rubinstein, Z prend i+1 valeurs, selon le nombre de “up”,iδt
1j = J (ω), ou` J = δJ +...+ δJ,(δJ ) ´etant des v.a. de Bernoulli ind´ependentes et de loii i 1 i i i≥1
δJ ; B(1,1− π ). On d´efinit la filtration F=(F ) , par F = {∅,Ω}, et pour k ≥ 1, F =i i t 0 kδtt∈T
1 Tnous respectons ici la tradition de choisir pourπ la probabilit´e queZ subisse un “down” car ceci correpond `a un “up”i t
des taux d’int´erets (puisque “quand les taux montent, les obligations baissent”). Attention, dans l’article de M. Leippold
et Z. Wiener ( http ://papers.ssrn.com/abstract=292225), il est fait le choix inverseP(X =0)=1−π.t
1+
σ(δJ ,...,δJ)=σ(X ,...,X ), avec X = δJ . Les fonctions al´eatoires Z :[t..T ] → R ,1 k δt kδt iδt i t max
TT 7→Z , sont choisiesF -measurables, et mˆeme σ(J )-measurables pour t =iδt.t it
Nousallonsmontrera`pr´esentquepourcemod`elelafonctionη doitn´ecessairementprendreuneforme
particuli`ere assez simple et donc que ce mod`ele ne d´epend en fait que de 3 param`etres.
1.1 Un model `a trois param`etres : π, δ,etn
1.1.1 Condition d’absence d’opportunit´e d’arbitrage
La premi`ere contrainte concerne l’absence d’opportunit´e d’arbitrage : pour tout T ∈ T, la valeur
Tactualis´ee de Z doit ˆetre une martingale. Pour cela on doit avoir pour tout t∈ [0..T −δt]t
1T ∗ T 1 t+δtZ =E ( Z |F)ou` Z .tt t+δt tRtRt
En utilisant (2), il vient
T ∗ t+δt T ∗ T T
Z = E (Z Z |F)=E (Z η(θ (t+δt),X )|F)t t+δt tt t t+δt t
∗ ∗T T T T= Z E (η(θ (t+δt),X )|F)=Z E (η(θ (t+δt),X )),t+δt t t+δtt t
Tpuisque X est ind´ependent ofF . Donc, en divisant par Z on obtient, puisque π =P[X = 0],t+δt t i it
1=π η(θ,0)+(1−π )η(θ,1) (3)i i
Tpour tout θ = θ (t +δt) ∈ [0..T −δt] . Il en r´esulte que π =(1−η(θ,1))/(η(θ,0)−η(θ,1)) nemax δt i
peut changer avec i et doit ˆetre constant (´egal a` π). De plus, en utilisant (2) pour t :=T−δt, on a aussi
T Tθ =θ = 0, ett+δt T
TT ZZ T−δtT T t T T1=Z =Z = η(θ (t+δt),X )= η(θ (T),X ),t+δt TT t+δt t+δt T−δt+δtZ Zt T−δt
pour X ∈{0,1}. Donc η(0,x) = 1 pour tout x∈{0,1}. D’ou` la proposition suivante :T
Proposition 1 Tout model de taux d’int´erˆet satisfaisant (2), avec les X ;B(1,1−π ) independents,t ii
est sans arbitrage si et seulement si η(0,x)=1pour tout x∈{0,1}, et si les π sont ´egaux et que leuri
valeur commune π satisfait la relation
1=πη(θ,0)+(1−π)η(θ,1). (4)
1.1.2 Condition binomiale
TA pr´esent, en utilisant le fait que pour t = iδt, Z ne d´epend que de J , on a le r´esultat suivant quiit
fixe la forme de la fonction η :
Proposition 2 Sous la condition de non arbitrage, pour tout θ∈ [0..T −δt] ,ona:δt
η(θ+δt,1)η(θ,0)η(δt,0) =η(θ+δt,0)η(θ,1)η(δt,1), (5)
et donc
θ1 η(δt,1)
δtη(θ,0) = , η(θ,1) =δ η(θ,0) , avec δ := > 1. (6)
θ η(δt,0)δtπ+(1−π)δ
Preuve : Cette formule est une cons´equence du fait que le mod`ele doit ˆetre binomial, c’est-`a-dire que,
Tpourt =iδt,Z ne doit d´ependre que de j =J (ω) et non des valeurs particuli`eresdeδJ (ω), ...,δJ (w)i 1 it
dont la somme vaut J (ω). Ceci n’est vrai que si l’arbre est recombinant, c’est-`a-dire si un up suivi d’uni
0 00down donne le mˆeme r´esultat qu’un down suivi d’un up. En d’autres termes, pour ω ∈Ωetω ∈ Ω tels
0 00 0 00 0 0que J (ω)=J (ω )=j et J (ω)=J (ω )=j +1, mais δJ (ω)=1etδJ (ω ) = 0 tandis quei i i+2 i+2 i+1 i+2
00 00 T TδJ (ω )=0etδJ (ω ) = 1, les valeurs de Z et de Z ne doivent pas d´ependre du fait quei+1 i+2 iδt (i+2)δt
0 00ω =ω ou ω =ω .
TPosons θ =θ et appliquons deux fois (2) :t+2δt
T TZ Zt+δtT tZ = η(θ,X )= η(θ,X )η(θ,X )t+2δt t+δt t+2δtt+2δt t+2δt t+δt t+2δtZ Z Ztt+δt t+δt
TZt= η(θ,X )η(θ,X ) , `a nouveau par (2)t+δt t+2δtt+2δt
Z η(δt,X )t+δtt
2t+2δt0 00 0 00 T TDonc comme J (ω)=J (ω )etJ (ω)=J (ω ), et comme Z , Z ,etZ ne d´ependent pasi i i+2 i+2 t+2δt t t
0 00du fait que ω =ω ou que ω =ω , il en sera de mˆeme de
η(θ+δt,X )η(θ,X )t+δt t+2δt
.
η(δt,X )t+δt
0 00L’´egalit´e des deux valeurs obtenues selon que ω =ω ou ω =ω , donne
η(θ+δt,1)η(θ,0) η(θ+δt,0)η(θ,1)
= .
η(δt,1) η(δt,0)
1A pr´esent, comme d’apr`es (4) on a η(θ,1) = (1−πη(θ,0)), donc (2) devient1−π
1 1
(1−πη(θ+δt,0)η(θ,0)η(δt,0) = η(θ+δt,0)(1−πη(θ,0))(1−πη(δt,0)). (7)
21−π (1−π)
1 1 1Posons x = , x = , et donc x = , l’´egalit´e (7) devientn n+1 1η(θ,0) η(θ+δt,0) η(δt,0)

π 1 1 1 π π
(1−π) 1− = 1− 1− .
x x x x x xn+1 n 1 n+1 n 1
Soit, en multipliant lesdeux termesparx x x , onobtient (1−π)(x −π)=(x −π)(x −π),ou, de1 n n+1 n+1 n 1
1 x −π π1mani`ere´equivalente,x =π+ (x −π)(x −π)=:x δ+γ, avec δ = etγ =π− (x −π)=n+1 n 1 n 11−π 1−π 1−π
1 1π(1−δ). Comme x = , on obtient η(δt,0) = . Et comme 1=πη(δt,0)+(1−π)η(δt,1),1 η(δt,0) π+(1−π)δ

1 1 1 1−πη(δt,0) η(δt,1)
δ = −π = = .
1−π η(δt,0) 1−π η(δt,0) η(δt,0)
nFinalement, en r´esolvant x =x δ+π(1−δ) il vient x =(1−π)δ +π, d’ou`n n−1 n
1 1 1
η(θ,0) =η(nδt,0) = = = ,θnx π+(1−π)δ δtn π+(1−π)δ
et
θ
δt1 π δ θ
δtη(θ,1) = − = =δ η(θ,0).θ θ
1−π δt δtπ+(1−π)δ π−(1−π)δ
2
2 Exemples de produits deriv´es de taux
Lorsqu’on souscrit un prˆet `a taux variable on peut souhaiter souscrire un contrat qui prendra en
charge le paiement des int´erˆets dus,ˆ au-del`a d’un taux maximal K. Typiquement, si l’int´erˆet r estT
+payable `a la date T pour l’emprunt d’un euro `a la date T −δt, ce contrat payera (r −K) . Ce contratT
s’appelle un caplet a` l’´ech´eance T au plafond K. Il donne une assurance contre une envol´ee du taux
(taux plafond) `a l’instant T. Pour le prˆet d’un Euro remboursable `a la date T et a` int´erˆets payablesmax
`a intervalle δt= un an, il convient de souscrire un Cap, qui est la somme de tous les caplets d’´ech´eance
T ∈]0..T ] . Comme le mod`elede Ho et Lee est un mod`elebinaire, un produit d´eriv´ede taux tel qu’unmax δt
tcapletsecouvre,`aladatet−δt,parunportefeuillecomportant`alafoisunplacement(nonrisqu´e)enZt−δt
t+δt
et en placement (risqu´e) en Z . Ceci se calcule de mani`ere similaire au cas des options pour un mod`elet−δt
∗T˜binaire d’action et, comme les processus (Z ) sont, pour tout T ∈T, des (F,P )-martingales, ont∈[0..T]t
retrouve pour la valeur du portefeuille de couverture
T ∗ TCaplet =E (Caplet |F )/(1+r ) (8)t−δt tt−δt t

T ∗ T Bs(et plus g´en´eralement, pour tous s≤t, Caplet =E Caplet |F ).ss t Bt
Acot´edesCapscompos´esdecaplets,ilexistedemˆemedesFloorscompos´esdefloorlets,quiprot`egent
d’une chuteˆ du taux (taux plancher), dont le prix se calcule de mani`ere analogue puisqu’il s’agit alors
d’un Put (ou d’une famille de Puts). Enfin il existe ´egalement un grand nombre d’autres contrats d´eriv´es
de taux, comme les Collars (achat d’un Cap et vente simultan´ee d’un Floor de mˆeme caract´eristiques),
Swaps (´echange d’un taux variable contre un taux fixe), Swaptions (option sur Swap) ou FRA (Forward
Rate Agreement)...
3Remarque : Le mod`ele de Ho et Lee´etudi´e ici est un mod`ele discret. Les versions continues correspon-
dantesappartiennent`alafamilledesmod`elesHJM(pourHeath,JarrowetMorton)etsontdesmod`eledu
taux forwardinstantan´ef(t,T) et non du z´ero-couponsZ(t,T). Il existe aussi plusieurs mod`elescontinus
pour le taux court r (dont un du a` Ho et Lee, `a ne pas confondre...) mais ces mod`eles ne permettent past
de repr´esenter l’ensemble de la dynamique de la structure par terme.
Remarque : Notonspourfinir quele mod`elede Hoet Lee,comme c’estle casg´en´eralementdesmod`eles
dit mod`eles de taux, ne prend en compte que le risque dit rique de taux correspondant aux variations du
taux dues `a l’inflation et autres al´ea ´economiques mais pas le risque dit risque de cr´edit ou de d´efaut
qui correspond au niveau plus ou moins bon de confiance du d´etenteur de l’obligation ou du prˆet dans
la qualit´e de l’emprunteur quand a` un possible d´efaut (de remboursement). C’est la raison pour laquelle
une obligation d’´etat (en Europe) est g´en´eralement moins ch`ere qu’une obligation souscrite aupr`es d’une
entreprise de mˆeme caract´eristiques. Le risque de cr´edit est habituellement s´epar´e dans la mod´elisation
du risque de taux et il existe des produits sp´ecifiques dit produits d´eriv´es de cr´edit qui servent `a couvrir
ce second risque. Le mod`ele de Ho et Lee ne prend pas du tout en compte le risque de cr´edit.
Exercice : Caplets et Caps : Lorsqu’onsouscritun prˆet`a taux variableon peut souhaitersouscrireun
contrat qui prendra en charge le paiement des int´erˆets dus,ˆ au-del`a d’un taux maximal K. Typiquement,
+si l’int´erˆetr payablea` la dateT pour l’emprunt d’un euro `a la dateT−δt, ce contratpayera(r −K) .T T
Ce contrat s’appelle un caplet `a l’´ech´eance T au plafond K. Pour le prˆet d’un euro remboursable `a la
date T et `a int´erˆets payable a` intervalle δt= un an, il convient de souscrire un Cap, qui est la sommemax
de tous les caplets d’´ech´eance T ∈]0..T ] . Comme le mod`ele de Ho et Lee est un mod`ele binaire, unmax δt
produit d´eriv´e de taux tel qu’un caplet se couvre, a` la date t−δt, par un portefeuille comportant a` la
t+δttfois un placement (non risqu´e) en Z et en placement (risqu´e) en Z . Ceci se calcule de mani`eret−δt t−δt
T˜similaire au cas des options pour un mod`ele binaire d’action et, comme les processus (Z ) sont,t∈[0..T]t
∗pour tout T ∈T, des (F,P )-martingales, on retrouve pour la valeur du portefeuille de couverture
T ∗ TCaplet =E (Caplet |F )/(1+r ) (9)t−δt tt−δt t

T ∗ T Bs(et plus g´en´eralement,pour tous s≤t, Caplet =E Caplet |F ). De mani`ere similaire au cas desss t Bt
Tz´ero-coupons et taux actuariels, notons Caplet (ω)=Caplet(n,j,k),toujours avec t =nδt, J (ω)=j,ettt
T = kδt.
n=k) Comment d´efinir Caplet(k,j,k)?
tn=k-1) Comme 1/(1+r)=Z , montrer que Caplet(k-1,j,k)=Caplet(k,j,k)*Z(k-1,j,k).t t−δt
n<k-1) ExprimerCaplet(n,j,k) enfonctiondeCaplet(n+1,j,k) etCaplet(n+1,j+1,k) lorsquen<k-1,
en utilisant (9).
func) D´efinir une hypermatrice CCaplet(n,j,k) et une fonction Caplet(n,j,k) donnant la valeur de
kδtCaplet (ω) lorsque J (ω)=j.nδtnδt
Application : Dans le mod`ele de Ho et Lee consid´er´e (ou` r =2,5%), quel est le prix d’un contrat deδt
plafonnement `a K =4,5% des int´erˆets pay´es annuellement sur un emprunt de 1.000.000 euros sur
15 ans. Idem pour un plafonnement `a 3,5%
1.02
1.00
0.98
0.96
0.94
0.92
0.90
0.88
0.86
0.84
0.82
0.80
0 1 2 3 4 5 6 7 8
4

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