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Universite de Nice L3 MASS annee Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance semestre NOM Date PRENOM Groupe

4 pages
Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice L3 MASS, annee 2010-2011 Departement de Mathematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2) NOM : Date : . PRENOM : Groupe : . Calcul stochastique : feuille reponses du TP 5 Etude de la convergence du prix CRR vers le prix BS On reprend les notations des TP precedents, avec les constantes suivantes T = 1, ? = 0.4, S0 = 140 et r = 0.05. On commencera par n = 6 pour la mise au point puis on traitera les valeurs plus grandes de n demandees. Exercice 1. : Creer un nouveau code Scilab et y definir sucessivement les 5 quantites ?t = T/n, R = er?t, up = e? √ ?t, down = e?? √ ?t et p = (R? d)/(u? d) comme 5 fonctions de n. Combien trouvez-vous pour p lorsque n = 12, n = 35, n = 120? Exercice 2. : Expliquez ce que calcule le code Scilab suivant (en commentant chaque groupe de 3 lignes separement). //La fonction S function y=S(i,j,n); y=S0.*(up(n)).^j.*(down(n)).^(i-j); endfunction; //La fonction C function phi=phi(S); phi=max(S-K,0); endfunction; function z=C(i,j,n); z=(phi(S(n,j :(j+

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Universit´e de Nice L3 MASS, ann´ee 2010-2011
D´epartement de Math´ematiques Calcul Stochastique et finance (semestre 2)
NOM : Date : .
PRENOM : Groupe : .
Calcul stochastique : feuille r´eponses du TP 5
Etude de la convergence du prix CRR vers le prix BS
On reprend les notations des TP pr´ec´edents, avec les constantes suivantes T =1,σ=0.4, S = 1400
et r=0.05. On commencera par n =6 pour la mise au point puis on traitera les valeurs plus grandes de
n demand´ees.
rδtExercice1. :Cr´eerunnouveaucodeScilabetyd´efinirsucessivementles5quantit´esδt=T/n,R =e ,
√ √
σ δt −σ δtup=e , down =e et p=(R−d)/(u−d) comme 5 fonctions de n.
Combien trouvez-vous pour p lorsque n =12, n = 35, n = 120?
Exercice 2. : Expliquez ce que calcule le code Scilab suivant (en commentant chaque groupe de 3 lignes
s´epar´ement).
//La fonction S
function y=S(i,j,n);
y=S0.*(up(n)).^j.*(down(n)).^(i-j);
endfunction;
//La fonction C
function phi=phi(S);
phi=max(S-K,0);
endfunction;
function z=C(i,j,n);
z=(phi(S(n,j :(j+n-i),n))*binomial(p(n),n-i)’)/R(n)^(n-i);
endfunction;
//Trace du Call en fonction de n
Nmax=250;CCall=zeros(Nmax);
for n=1 :Nmax, Call(n)=C(0,0,n); end;
plot2d(10 :Nmax,Call(10 :Nmax));
1Exercice 3. : Ajouter le code pr´ec´edent a` votre code. L’utiliser pour calculer le prix du Call pour
K =135 lorsque n =20. Quelle valeur trouvez-vous?
Que savez-vous des oscillations observ´ees sur le graphique? Pensez-vous qu’elles convergent et si oui,
que savez-vous de leur limite?
2Exercice 4. : Reprendre le dessin dans le cas d’un Call `a la monnaie. Qu’observez-vous?
Faireletrac´ecorrespondantpourunPutd’abordavecK = 135puisavecK = 140.Qu’observez-vous?
3R 2x2 −t√Exercice 5. : Montrer que si l’on pose erf(x)= e dt, la fonction de r´epartition d’une loiπ 0√
normale centr´ee r´eduiteN(x) v´erifieN(x) =(1+erf(x/ 2))/2.
D´efinir une fonction BlackScholes(S,K,r,T,σ) donnant la valeur du Call de prix d’exercice K `a a
date d’exercice T lorsque le taux (constant) vaut r et la volatilit´e est ´egale a` σ, en utilisant la formule de
Black et Scholes

2 √1 S σ0−rTC =SN(d )−Ke N(d ) , avec d = √ ln +T r+ et d =d −σ T.1 2 1 2 1
K 2σ T
QuelprixC trouvez-vouspourK = 135ettoujourslesmˆemesautresvaleursdesparam`etres?(Onpourra
utiliser la fonction erf de Scilab.)
Ajouterunedroitehorizontaled’ordonn´eeC surledessinsdesoscillationsdesprixCRR.Qu’observez-
vous?
27.95
27.90
27.85
27.80
27.75
27.70
27.65
27.60
27.55
27.50
0 50 100 150 200 250
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