Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 09-10 semestre 1 4 Espaces vectoriels : generalites Dans cette section, K designera un corps. Par exemple le corps Q, R ou C. 4.1 Definition, exemples Definition 4.1.1 Un K-espace vectoriel E est la donnee d'un ensemble E muni d'une loi interne dite d'addition : E ? E ? E, (u, v) 7? u + v et d'une loi externe dite de multiplication par un scalaire : K ? E ? E, (?, u) 7? ?u asujettis aux conditions suivantes : L'addition est une loi de groupe commutatif : i) Associativite : ?u, v, w ? E , (u+ v) + w = u+ (v + w) . Cet element est alors note u+ v + w. ii) Existence d'un element neutre : il existe un element note 0 ? E (ou ~0, ou encore 0E) tel que pour tout u ? E : u+ 0 = 0 + u = u . iii) Existence d'un oppose : pour tout element u ? E, il existe un element note ?u ? E, appele oppose de u , tel que u+ (?u) = (?u) + u = 0 . iv) Commutativite : ?u, v ? E , u+ v = v + u .

• multiplication


• base de mn


• systeme lineaire


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• famille v1


• loi externe

Sujets

• Multiplication
• Système linéaire
• Loi de composition

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit ´ edeNiceSophia-Antipolis 09-10

4

Espaces vectoriels :

g´ene´ralite´s

Dans cette section,Kpmeleloc.saPerexrpsengise´dprocnuarQ,RouC.

L1-MPAlg ´ ebre semestre 1

4.1D´efinition,exemples De´finition4.1.1UnK-espace vectorielEelbmesnenu’´eeddonnstlaeEmuni d’une loi interne dite d’addition :E×E→E,(u, v)7→u+vet d’une loi externe dite de multiplication par un scalaire : K×E→E,(λ, u)7→λuasujettis aux conditions suivantes :

L’addition est une loi de groupe commutatif :

i)Associativit´e:∀u, v, w∈E ,(u+v) +w=u+ (v+w).taesntme´eelt´Ceeon´tolsru+v+w. ~ ii)Existenced’une´l´ementneutre:ilexisteun´ele´mentnote´0∈E(ou0, ou encore0 E ) tel que pour tout u∈E:u+ 0 = 0 +u=u .

iii)Existenced’unoppose´:pourtoute´l´ementu∈Eue´nixtsi,elenot´mentel´e−u∈Ee´soppoe´leppa,de u, tel queu+ (−u) = (−u) +u= 0.

iv)Commutativit´e:∀u, v∈uE , +v=v+u .

Laloiexternev´erifiepourtoutu∈Eetλ, µ∈K:λ(µ u) = (λµ)uet1u=uuo`1est le neutre de la multiplication deK. Lesdeuxloisv´erifiententreellespourtoutu, v∈Eetλ, µ∈K:

(λ+µ)u=λu+µu

et

λ(u+v) =λu+λv .

Exemples 1) Le corpsKtionaddiesonunidmemeiuˆmlnontituespitlaciledteumasK-espace vectoriel.

1

n 2) L’ensembleKdesnemtndseds´’lee´-upletKest unKonetoisnretaidit’ddapoelritop´soseure-cevecaps demultiplicationparune´le´mentdeK: (x 1 , . . . , x n ) + (y 1 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , . . . , x n +y n ) etλ(x 1 , . . . , x n ) = (λx 1 , . . . , λx n ). 2) L’ensembleM n,p irta`secasmdenlignes etptndscffieiceronalsoloncacoenes`psKest unK-espace vectorielpoursesope´rationsd’additionetdemultiplicationparune´le´mentdeK: (a i,j ) + (b i,j ) = (a i,j +b i,j ) etλ(a i,j ) = (λa i,j ). 3) Le corpsCdes nombres complexes est unR-espace vectoriel muni de son addition et de la mutliplication naturelleparlesnombresre´els.

Lese´lementsd’unKuetctesr´lepevsetsencodus´leemelprsspac-eotirvecetnpaleosKpaep´lseostn scalaires.

4.2 Sous-espaces vectoriels Dans cette sous-section,Esegi´dunneraK-espace vectoriel. D´efinition4.2.1Une sous-ensemble non videFdeEppatsesuose´leed-espacevectorielEsiFest stable pourl’additionetpourlamultiplicationexterne,c’est`adiresi: ∀u, v∈F ,∀λ∈K:u+v∈Fetλu∈F . Onpeutalorsve´rifierquesiFest un sous-espace vectoriel deE, l’addition et la multiplication par un scalaire deEinduisent surFop´edeuxonsqratitnediuofFionpscauenecevrito.Iel´elrtlusledee´datinfi que 0 E est le neutre pour l’addition deFet que siu∈F’les´poop−u= (−1)udeudansEitneppraat`aF etestaussisonoppose´dansF.

Exemples 1)Eet l’ensemble{0 E }re´udtieauz´erodEsont des sous-espaces vectoriels deE. 2)L’ensembledesnombresre´elsestunsous-espacevectorielduR-espace vectoriel des nombres complexes.

2

Proposition 4.2.2L’intersection de sous-espaces vectoriels d’un espace vectorielEest un sous-espace vec- toriel deE.

Preuve :SoitF 1 etF 2 deux sous-espaces vectoriels deE. Tout d’abord 0 E ∈F 1 , carF 1 est un sous-espace vectoriel deE0eme,eDˆm. E ∈F 2 . Ainsi, 0 E ∈F 1 ∩F 2 etF 1 ∩F 2 Soitest donc non vide. u, v∈F 1 ∩F 2 etλ∈K. En particulier,uetvx´eu´eelstdontnemedsF 1 . CommeF 1 est un sous-espace vectoriel deE: u+v∈F 1 etλu∈F 1 mˆDe.euqertnomno,emeu+v∈F 2 etλu∈F 2 . Ainsi,u+v∈F 1 ∩F 2 etλu∈F 1 ∩F 2 . Cela montre queF 1 ∩F 2 est un sous-espace vectoriel deE.

Proposition 4.2.3s)dedsmembressnanocea.c(s.d.ogomne`eean´ehirunsynsd’melist´eeLtuoisslop´eqauitnos n a`navirbasprocnusnasdntiefficoeacs`leKforment un sous-espace vectoriel deK.

Preuve :oCmmnopsnec¸ntrearmolessrquesnoituloqe´enu’dliontiuaehirean´mogoe`ena`nbles`avraai n coefficients dans un corpsKforment un sous-espace vectoriel deKSoita 1 , . . . , a n ∈KD,e´arspongnsiF l’ensembledessolutionsdel’´equationlin´eaire:

a 1 x 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n x n = 0

n Montrons queFest un sous-espace vectoriel deK. Tout d’abord,Fest non vide puisqu’il contient 0 = n (0,0, . . . ,0). Soitx= (x 1 , x 2 , . . . , x n ),y= (y 1 , x 2 , . . . , y n )∈Kdeux´el´emendetsFetλ∈K. Ainsi,x i ety i sontdese´l´ementsdeKtv´eetn:irefi

a 1 x 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n x n = 0

Ilenre´sulte: a 1 (x 1 +y 1 ) +a 2 (x 2 +y 2 ) +∙ ∙ ∙+a n (x n +y n )

D’autre part :

= = =

et

a 1 y 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n y n = 0.

a 1 x 1 +a 1 y 1 +a 2 x 2 +a 2 y 2 +∙ ∙ ∙+a n x n +a n y n (a 1 x 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n x n ) + (a 1 y 1 +a 2 y 2 +∙ ∙ ∙+a n y n ) 0 + 0 = 0.

a 1 (λx 1 ) +a 2 (x 2 ) +∙ ∙ ∙+a n (λx n )

3

= =

λ(a 1 x 1 +a 2 x 2 +∙ ∙ ∙+a n x n ) λ0 = 0.

n Ilenr´esultequex+yetλxementsdesnodtsee´´lF. Donc,Fun un sous-espace vectoriel deK. Or, l’ensembledessolutionsd’unsyste`meline´aireestl’intersectiondessolutionsdechaquee´quationdecesyste`me, lapropositionsede´duitalorsdelaproposition4.2.3

D´efinition4.2.4Soitu 1 . . . , u p ∈Eetλ 1 , . . . , λ p ∈K. Le vecteurλ 1 u 1 +λ 2 u 2 +∙ ∙ ∙+λ p u p ep´lueeneapst combinaisonlin´eairedeu 1 , u 2 , . . . , u p . On noteV ect(u 1 , u 2 , . . . , u p )ireadeesedesembl’enslil´nossnniiaocbm u 1 , u 2 , . . . , u p .

Proposition 4.2.5Soitu 1 . . . , u p ∈E, alorsV ect(u 1 , u 2 , . . . , u p )est un sous-espace vectoriel deEleppele´a sous-espacevectorielengendre´paru 1 , . . . , u p .

Preuve :On a 0 E = 0u 1 + 0u 2 +∙ ∙ ∙+ 0u p . Donc, 0 E ∈V ect(u 1 , u 2 , . . . , u p Soit) qui est donc non vide. λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ p u p etµ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+µ p u p `uoλ i , µ i ∈Kibancxmolsnisinosdreai´edeueu 1 , . . . , u p et soitλ∈K:

(λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ p u p ) + (µ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+µ p u p ) λ(λ 1 u 1 +∙ ∙ ∙+λ p u p )

= =

(λ 1 +µ 1 )u 1 +∙ ∙ ∙+ (λ p +µ p )u p (λλ 1 )u 1 +∙ ∙ ∙+ (λλ p )u p

Ainsi,V ect(u 1 , u 2 , . . . , u p ) est non vide et stable par addition et multiplication par un scalaire. C’est dons un sous-espace vectoriel deE.

Remarque 4.2.6On notera en particulier que siu 1 , . . . , u p torievecspacus-enuostna`naeepnpraitleFde Eedreai´einnlsoaiinbmocetuot,u 1 , . . . , u p est un vecteur deF. Ainsi,vect(u 1 , . . .;u p )est un sous-espace vectoriel deF.

4.3Famillelibre,famillege´n´eratriceetbase Dans cette sous-section,Esegienarnud´K-espace vectoriel.

De´finition4.3.1Soitv 1 , v 2 , . . . , v p ∈E. a) On dit que la famillev 1 , v 2 , . . . , v p otisevturtar,ecieucterdetsen´eleg´amilunefE´naerieansinoiltcesbiom

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