Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP Algebre semestre
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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP Algebre 08-09 semestre 1 1 Applications lineaires 1.1 Definitions et operations sur les applications lineaires Dans cette section K designera un corps et E et F deux K-espaces vectoriels. Definition 1.1.1 Soit E et F deux K-espaces vectoriels, une application lineaire de E vers F est une appli- cation f : E ? F telle que : ? u , v ? E , ? ? ? K : f(u + v) = f(u) + f(v) et f(?u) = ?f(u) . Si f : E ? F est une application lineaire, on notera que pour tout u1, . . . , up ? E et ?1, . . . , ?p ? K : f(?1u1 + · · ·+ ?pup) = ?1f(u1) + · · ·+ ?pf(up) , que f(0E) = 0F et que pour tout u ? E et ? ? K : f(?u) = ?f(u) et f(??u) = ??f(u). Notation 1.1.2 On note LK(E,F ) l'ensemble des applications lineaires de E vers F et LK(E) l'ensemble des applications lineaires de E vers E. Un element de LK(E) est parfois appele endomorphisme de E.

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Langue Français

Exrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis 08-09
L1-MPAlg´ebre semestre 1
1Applicationslin´eaires 1.1De´nitionsetop´erationssurlesapplicationsline´aires Dans cette sectionKproctesenginuard´esEetFdeuxK-espaces vectoriels. D´fi ition 1.1.1SoitEetFdeuxKedecaliontin´liireavsecapse-ppeauns,elritoecEversFest une appli-e n cationf:EFtelle que :  vu ,E ,λK:f(u+v) =f(u) +f(v) etf(λ u) =λf(u). Sif:EFurpouttoretoeuqaerianno,citapalpnie´oilntuneesu1, . . . , upEetλ1, . . . , λpK: f(λ1u1+∙ ∙ ∙+λpup) =λ1f(u1) +∙ ∙ ∙+λpf(up), quef(0E) = 0Fet que pour toutuEetλK:f(u) =f(u) etf(λu) =λf(u). Notation 1.1.2On noteLK(E, F)enledelbmesacilppastionslin´eairesdeEversFetLK(E)l’ensemble desapplicationsline´airesdeEversEe´´l.nUtdeemenLK(E)dnee´leppasiofrademeisphoromestpE. Exemples: Soit (ai,j)1im,1jn´le´nemelimadelunefdetsK.
a) L’applicationf:Kn−→Km:rapein´ed (x1, x2, . . . , xn)7(a1,1x1+∙ ∙ ∙+a1,nxn, . . . , am,1x1+∙ ∙ ∙+am,nxn) estline´aire. b)D´esignonsparA∈ M(m, n,K)alamrtcil(are´ne´gemretedeai,j :). L’application x x1+∙ ∙ ∙+a1,nxnM(n,1,K)M(m,1,K) :X=x.1n7yy.1m=AX=aam1,,11x1+∙ ∙.+am,nxn
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estlin´eaire.
Dautresexemplesdapplicationsline´aires: C(R,R)C(R,R), f−→4f00f0+f C(R,R)C(R,R), f7−→R10f(t)dt . Eng´eome´trieplane,lesprojectionsoulessyme´triesdesvecteursdunplanparrapport`aunedirection paralle`lementa`uneautresontdesapplicationsline´aire.
Soitp1, p2, p3les prix unitaires de trois produits, l’application : R3−→R,(x1, x2, x3)7p1x1+p2x2+p3x3 estlin´eaire.Ellemode´liseleprixdunpanierconstitu´edesquantit´esx1, x2, x3de ces trois produits.
Soitm1, m2, m3maeslmstaiotnedp3sssenp:licaltiaopels,´eri R3−→R,(h1, h2, h3)7R,(h1, h2, h3)7g(m1h1+m2h2+m3h3) estli´eaire.Ellemod´elisel´energiepotentielledecestroispoints. n
Remarque 1.1.3SiFest un sous-espace vectoriel deE, l’inclusioni:FE,x7→xliste´naeri.e Notation 1.1.4dentit´eLiedEee,´tonIdEest l’application :IdE:EE , u7→IdE(u) =u. Cette applicationestlin´eaire. De´nition1.1.5SoitEunK-espace vectoriel etλK. L’application hλ:λIdE:EE x7hλ(x) =λx estappele´ehomothe´tiederapportλilacaepptsnuC.ee:eairlin´tionhλ∈ LK(E).
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Onpourranoterqueleshomothe´tiesdelespacevectorielEtendomorphismedeocmmtune`ttauoE: pour toutλK, pour toutf∈ LK(E), nous avonshλf=fhλ. Proposition 1.1.6SoitE, F, GtroisK Pour tout-espaces vectoriels.f∈ LK(E, F)etg∈ LK(F, G), lapplicationcompos´eegf.eriaeetsil´n
Preuve :Soitu, vEetλKnastlisissvicuectlademenitio´enednutEn.gfl,nilarae´´eitdef, puis de gltdae´ntioidneegf, on obtient : (gf)(u+v) =g(f(u+v)) =g(f(u) +f(v)) =g(f(u)) +g(f(v)) = (gf)(u) + (gf)(v) (gf)(λu) =g(f(λu)) =g(λ f(u)) =λ g(f(u))) =λ(gf)(u). Soitf1∈ LK(E, F), f2∈ LK(E, F), λK. On notef1+f2etλf1, les applications : f1+f2:E−→F , u7(f1+f2)(u) =f1(u) +f2(u) λf1:E−→ uF ,7(λ f1)(u) =λ(f1(u)). Proposition 1.1.7Soitf1∈ LK(E, F), f2∈ LK(E, F), λK applications. Lesf1+f2etλf1sontliseriae´n. Munisdecesope´rations,LK(E, F)est unK-espace vectoriel. Preuve :urnuldeelevecteetonuqaruetcnO.rees´leauisLaLK(E, F) est l’application 0 :EF, qui associea`toutvecteurudeEle vecteur nul deF de l’application. L’opposeef∈ LK(E, F) est l’application ´ f:EFpaien´edrf(u) =f(u).
Proposition 1.1.8Soitf1, f2∈ LK(E, F)etλK. Soith∈ LK(E0, E)etl∈ LK(F, F0): l(f1+f2) =lf1+lf2,(f1+f2)h=f1h+f2h . Soitf∈ LK(E, F), g∈ LK(F, G), λK: g(λf) = (λg)f=λ(gf).
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Corollaire 1.1.9L’ensembleLK(E)ontiul,mpltiatice´poitar:snoiddaestmunidetroisranuoipniaercsla , composition. L’addition et la composition munissentLK(E)´edreitunuanutiiaerdnaenestructudunIdE. Cetanneauestnoncommutatifd`esquedimK(E)>1. Sif∈ LK(E), on noterafk=ff◦ ∙ ∙ ∙ ◦fe´esdoepmocalkfois l’applicationfem.pallreˆeem Proposition 1.1.10Sif∈ LK(E, F)qoeuetcejibtspal,eviioaticplprci´enrf1:FEtslaein´eorsl:aire f1∈ LK(F, E). On dit alors queFlin´eairorphisme.enutsmosie Preuve :Soitf∈ LK(E, F Rappelons) bijective. que cela signifie que pour toutvF, il existe un unique vecteur deEtel quef(u) =v.Lataoinsteequroicplaplitacilpppice´rnof1:FEssocie`aunuqai vecteurvFle seul vecteuruEtel quef(u) =v. Nous devons montrer quef1nie´selttoi.Sreai v, v0FetλK. Notonsu=f1(v) etu0=f1(v0). Commef(u+u0) =f(u) +f(u0) =v+v0, il vientu+u0=f1(v+v0). Ainsi,f1(v+v0) =f1(v) +f1(v0ˆmme.)eD,ef(λu) =λf(u) =λv. Ainsi, f1(λv) =λu=λf1(v montre que l’application). Celaf1estlin´eaire. Notation 1.1.11On noteGlK(E)⊂ LK(E)denelmorpsisoledesembrise´naeseilihmsEversE.GlK(E) estungroupepourlaloidecomposition.Cegroupeestnoncommutatifde`squedimK(E)>1. Exemplesdisomorphismeslin´eaires:Les applications : KnM(n,1;K),(x1, . . . , xn)7xx.n1etKnM(1, n;K),(x1, . . . , xn)7(x1. . . xn) sontdesisomorphismesli´eaires. n
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1.2Applicationlin´eaireetsous-espacesvectoriels D´enition1.2.1(image et image inverse d’un sous-ensemble) Soitf:XYune application entre deux ensemblesXetY. SoitAun sous-ensemble deX, on appelle image deAparfle sous-ensemble deX: f(A) ={f(x)Ytels quexA}. SoitBun sous-ensemble deY, on appelle image inverse deBparfle sous-ensemble deY: f1(B) ={xXtels quef(x)B}. On prendra garde que l’image inverse deBe´tonf1(Bˆemenimsie´dtse)fn’est pas bijective, c’e t ` s a diremeˆmesilapplicationf1estpasd´enie.n
Proposition 1.2.2Soitf:EFedxutnerilppaenueeirean´lionticaK-espaces vectoriels. 1) Pour tout sous-espace vectorielVdeE,f(V)est un sous-espace vectoriel deF. 2) Pour tout sous-espace vectorielWdeF,f1(W)est un sous-espace vectoriel deE. Preuve de 1) :L’ensemblef(V) est non vide, car 0EVet doncf(0E) = 0Ff(V).
Soity, y0f(V) etλK´enPard.ednoitif(V), il existexetx0Vtels quey=f(x) ety0=f(x0). Onaalorsenutilisantlalin´earite´def: y+y0=f(x) +f(x0) =f(x+x0) etλy=λf(x) =f(λx). CommeVest un sous-espace vectoriel,x+x0etλxsont des vecteurs deVeettequesul´rnelI.y+y0etλy appartiennenta`f(V). Ainsi,f(V) est un sous-espace vectoriel deF.
Preuve de 2) :L’ensemblef1(W) est non vide, carf(0E) = 0FW 0. Ainsi,Ef1(W).
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