Universite de Nice Sophia Antipolis L1 MP MI Algebre semestre
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Universite de Nice Sophia-Antipolis L1 - MP - MI Algebre 10-11 semestre 2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1 – Mettre sous la forme x+ iy avec x, y reels les nombres complexes : (2? 3i)2 ; (2? 3i)3 ; 1 2? 3i ; 1 (2? 3i)(1 + i) ; 2 + i (3 + i)(2? i) . Exercice 2 – Determiner sous la forme x+iy avec x, y reels les nombres complexes z solutions des equations : a) 3iz + 3? 4i = 0 b) (7 + 2i)z + 5? 8i = 0 c) (1 + i)z ? 5 + 4i = 0 Exercice 3 – Determiner les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (3 + 2i)z1 + iz2 = 1 + 2i 2z1 ? (1 + i)z2 = i? 3 En deduire les couples de complexes solutions du systeme d'equations : [ (3? 2i)z1 ? iz2 = 1? 2i 2z1 ? (1? i)z2 = ?i? 3 Exercice 4 – (Equations du second degre a coefficients reels) Trouver les nombres reels ou complexes solutions des equations suivantes : 1a) x2 = 8 81 ; 1b) x2 = 0 ; 1c) x2 = ?19 2a)

  • c? ?c

  • couples de complexes solutions du systeme d'equations

  • nature des similitudes directes

  • loi de composition des applications

  • solutions de l'equation z2

  • z1 ?

  • point fixe

  • meme question avec ? ?


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Langue Français

Exrait

Universit´edeNiceSophia-AntipolisL1-MP-MIAlge´bre 10-11 semestre2 Feuille 1 Corps des nombres complexes Exercice 1Mettre sous la formex+iyavecx, yeeslelns´rmplexes:ombresco 1 12 +i 2 3 (23i) ;(23i; ;) ;. 23i(23i)(1 +i) (3+i)(2i) Exercice 2mrofalsuosrenimr´eteDex+iyavecx, yexelseleerl´somsnesbrmpcozsolutions des´equations: a) 3iz+ 34i= 0 b) (7+ 2i)z+ 58i= 0 c) (1+i)z5 + 4i= 0 Exercice 3uaeqontiemt`´eddsnosysuosseitul:seldsocpulpxecemoeterD´rlesmine " (3 + 2i)z1+iz2= 1+ 2i 2z1(1 +i)z2=i3 Ende´duirelescouplesdecomplexessolutionsdusyst`emede´quations: " (32i)z1iz2= 12i 2z1(1i)z2=i3 ´ Exercice 4(noitauqEnocesudsesrlmbnosrreel´euosddegr´e`acoecietnrse´le)srTuoev complexessolutionsdese´quationssuivantes: 8 2 22 1a)x1= ;b)x= 0; 1c)x=19 81 1 31 5 2 22 2a) (x); 2= 0b5) (x2) =20 ;c) (x) += 0 3 43 4 13 2 22 3a) 14x9x; 3+ 1 = 0b) 8x2+ 12x+ 9 = 0; 3c)x2x+ =0 9 ´ Exercice 5`ecage´reitneoconsduationddusecqE(enimrosrealsumrofomscexpl)Deste´e 2 x+iyavecx, ysleldsuenxmorbser´eenioatqu´eldensoitulossexelpmocz=cdans les cas : c= 3 + 8i;c=11 + 4i;c= 1i . 2 22 22 (Uneme´thodeconsiste`aremarquerque|z|=x+y=|c|, xy= Recinerles,`ad´eterm 2 2 couples (yx ,), puis les couples (x, y) en tenant compte du signe de 2xy= Imc). ´ Exercice 6Euq(dendcosedunsioatstneiceoca`e´rgocpmelex)s´Dtereminersouslaforme x+iyavecx, yxeserlee´esslmbnoscreplomzslosnedtuoiuatis´eqons:
2 a)z+ (2 +i)zi= 0 2 b)z(1 + 2i)z+ 2 = 0 2 c) 4z+ (26i)z86i= 0 D´eduiredea)lessolutionscomplexesdele´quation: 2 z+ (2i)z+i= 0 . Exercice 7elexocpm:sntdegumebressnommrnie´etDlarleetmoduerle √ √ 1i 21 ;2i;3 3+ 3i; (1i+)( 3i) ;. 3 +i End´eduireparexemplelemoduleetlargumentdescomplexesztels que 5 3 z= 22i;z= (1i)( 3+i). Exercice 8ntoieprlnemieret´D)etceridedutilsimi(:setdesdirecsimilitutarudesexeeltna φ1:CC;zφ1(z) = 2iz+ 13i φ2:CC;z7φ2(z) = (1i)z+ 13i φ3:CC;z7→φ3(z) = (1 +i3)z+ 13i 3i φ4:CC;z7→φ4(z) = ()z+ 2 +i 2 2 Exercice 9setceridsedutili:litudedirecte)Cosndie´orsnelssmi(imis φ:CC;z7→φ(z) = (1 +i)z+ 2 + 3i 3i ψ:CC;z7→ψ(z) = (+ )z+ 1 +i 2 2 1)De´terminerlepointxeetlanaturedeφet deψ. 2)Pr´eciserlapplicationcompos´eeφψatetqru.oCsnerrmin´eteceriD.ettilideduundimessilitag son point fixe et sa nature. 3)Meˆmequestionavecψφ. 11 4) Nous savons queφetψjectives,pr´ecisreostnibφetψ. 11 5) Constater queφetψirecdesdPr´etes.dtsesnoilutisimeullcualrsevaresiccsnastec points fixes et leurs natures. Exercice 10Donner une expression de cos3θet sin3θose`cedidaalθet sinθcela,. Pour inθ iθn on utilisera que pour tout entier relatifnttertuolee´θ:e= (eeutsoianevc)Mˆ.eqem cos 5θ5et sinθ
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Exercice 11Soitθleeenutbmon´rerz= cosθ+isinθque pour tout entier. Montrern:    n n 1 1 n n 2cos=z2+ ;isin=zz z    5 5 1 1 5 5 End´eveloppantz+ etz, donner une expression de cosθet sinθededliaa` z z cos 5θ5, sinθ, cos3θ3, sinθ, cosθet sinθ Exercice 12)Mon1queptrertruortuolee´θ:  ! ! ! ! ! ! θ θθ θθ θ 2 22 2 cosθ= cos2cossin =1 = 12sin ;sinθ= 2cossin 2 22 22 2 θ 2)De´duirea`laidelemoduleetlargumentdunombrecomplexe: 2 e1 = cosθ+isinθ1. 3) Montrer que pour tout nombre complexezdistinct de 1 : n n+1 X z1 k n z= 1 +z+∙ ∙ ∙+z= z1 k=0 4) Soitθuel´estdiomnnerbrdo2edm0nitcπque pour tout entier. Montrern: n θ sin(n+ 1) Xθ ikθ iθinθ in2 2 e= 1 +e+∙ ∙ ∙+e=e θ sin k=0 2 5)End´eduirequepourtoutentiernetθ0modctde2e´ridlenitsπ: n n X X 1 1 |cos|≤et|sin|≤ θ θ |sin| |sin| k=0 2k=0 2 zi Exercice 131) Soitzntredeedex´eicnulpmoi. Montrerque le nombre complexe z+i estdie´rentde1. zi On note alorsf:C− {−i} →C− {1}iepa´eniondicatparlplf(z.) = z+i 1 2) Montrer quefresejibtective.D´eterminf. 3) Montrer quefadmet deux points fixesz1etz2leuq´eteondera.rmin 4) Montrer qu’il existe un complexeaqsera´ecionprueltuotruopeuqletzdictinct deiet z2: f(z)z1zz1 =a f(z)z2zz2 5)D´eterminerdeuxcomplexescetdtels que pour tout complexezdistinct dei: d f(z) =c+ z+i
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+ Exercice 14.sirsdteeclimidetudelbisseelmesnd`ereSim)Onconsiidertsc(smeilitiduse Pouraun nombre complexe non nul etbun nombre complexe, on noteφa,bla similitude directe : φa,b:CC;z7→φa,b(z) =az+b 0 0 1) Soita, ades complexes non nuls etb, bee´sopicplaplomncioatseP.lpxesire´rcescomde φa,bφa ,b. 0 0 1 2) Montrer queφest bijective et. Montre a,benr´dtereimφbr que IdC:CCrapeine´d a, IdC(z) =zest une similitude directe. + 3)MontrerqueSimpourlaloidecompositiondesapplicationsestungrouped´ele´mentneutre IdC. 4)De´terminerenfonctiondeaetbles points fixes deφa,b. 0 0 0 , M, M Soitz0, z1, z2les affixes de 3 pointsM0, M1, M2. NotonsM0 1 2les points dont les affixes sontφa,b(z0), φa,b(z1), φa,b(z2). 5) Montrer que −−→ 0 0−−→ kM Mk= 0 1|a|kM0M1k End´eduirequesiMd’affixezadΩertnde´exceunitcrcedelercωet de rayonR, les points d’affixesφa,b(z).´adleuqpnoce´rresiriecntveceunlerc 6)Montrerle´galit´edesanglesdevecteurs: −−→d−−→d 0 00 0−−→−−→ (M MM M ,= (M, M) 0 10 2)M0M21 0 End´eduirequesiMd’affixezpoes,lteadtsinsextunedroid´ecriφa,b(zunedvente.roitirce´d) Onconside´relensembleC×Csquermfode´euocsselpb,a(let)aest un nombre complexe non nul etbnnubromomecexplnO.esnoce`dialerloiinterne?surC×C´deinpera: 0 00 0 (a, b)?(a , b) = (aa , ab+b). 7) Montrer que muni de cette loiC×Citatnodfcnonummoerisanptoecr´etsuoepnurg l´ele´mentneutre. 8) Montrer que l’application : + C×C(Sim :a, b)7→φa,b est un morphisme de groupe. 9)Montrerquecemorphismedegroupesestbijectifetd´eterminersoninverse.
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