Universite de Nice Sophia Antipolis L3 Mass Calcul differentiel

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis 2009 - 2010 L3 Mass. Calcul differentiel Controle du 20/10/2009 Duree : 1H 15. Documents autorises : aucun pour la question 1, ensuite une page recto-verso, calculettes interdites 1. Question de cours. Corrige : voir cours! 2. Etudier la fonction f(x, y) = x 3y3 x2+y2 si x 6= 0 et f(0, 0) = 0. Est-elle C1 sur R2? Est-elle C2? Justifiez votre reponse. Donner si c'est possi- ble un developpement limite a l'ordre 2 de f a l'origine. Corrige. On a deja etudie cette fonction en TD, voir corrige de la feuille TD1. Par exemple, ses derivees premieres en tout point (x, y) 6= (0, 0) sont: ∂xf(x, y) = x4y3 + 3x2y5 (x2 + y2)2 ; ∂yf(x, y) = x3y4 + 3x5y2 (x2 + y2)2 , et a l'origine on les calcule directement en revenant a la definition. Par exemple, ∂xf(0, 0) = lim h?0 h?1 (f(h, 0)? f(0, 0)) = 0, car ?h, f(h, 0) = 0.

• points d'extremum corre- spondants


• ∂2f ∂x∂y


• ?2 ?2


• universite de nice - sophia-antipolis


• unique point


• degre

Informations

• Publié par: vehot
• Publié le: 01 octobre 2009
• Nombre de lectures: 59
• Langue: Français

Extrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis2009-2010 L3Mass.Calculdiff´erentiel Contrˆoledu20/10/2009 Dure´e:1H15.Documentsautorise´s:aucunpourla question 1, ensuite une page recto-verso, calculettes interdites

1.Questiondecours.Corrig´e:voircours!

3 3 x y 2.Etudier la fonctionf(x, y) = 2 2 six6= 0 etf(0,0) = 0.Est-elle x+y 1 22 CsurR? Est-elleCssoptse’-i.DseonepicrsneonJ?suitefivztoer´r bleund´eveloppementlimite´a`l’ordre2defenig.la`iro’

Corrig´e.´eada´j`Onalede´gir,voircortionenTDteetofcntedu´ice feuilleTD1.Parexemple,sesde´rive´espremi`eresentoutpoint(x, y)6= (0,0) sont: 4 32 53 45 2 x y+ 3x yx y+ 3x y ∂ x f(x, y;) =∂ y f(x, y) =, 2 22 22 2 (x+y) (x+y) et`al’origineonlescalculedirectementenrevenanta`lade´finition.Par exemple, −1 ∂ x f(0,0) = limh(f(h,0)−f(0,0)) = 0, h→0 car∀h, f(h,eˆem,)00=D.me∂ y f(0,0) = 0.On montre ensuite la continuit´edecesd´eriv´eespremi`eresa`l’origineenmontrante.g.que 3 33 |∂ x f(x, y)−∂ x f(0,0)| ≤3|y|+3|y|= 6|y| →0 quand (x, y)→(0,0). 1 Donc la fonctionfestC`lao’irigen,uxieigittlinpolueseltiate´iuq, 2 donc aussi surR, et∂ x f(0,0) =∂ y f(0,0) = 0.

Onraisonnedemeˆmesurlesd´eriv´eessecondes.Parexemple, 2 ∂ f −1 (0,0) = limh(∂ y f(h,0)−∂ y f(0,0)) = 0, ∂x∂y h→0 car∀h, ∂ y f(h(,esququelcorereensevie´´dretaere´dntnom)0O.0= secondes deflao’irigeno,u`lelessontnulles,ontcons`sirpmocy,seunit etquenaturellement(lemmedeSchwarz)lesde´riv´essecondesmixtes 2 2 ∂ f∂ f 2 etsonte´galesentoutpoint(x, y)∈Rqui fait tout. Ce ∂x∂y ∂y∂x marcher est le fait quefsee´iverd´escsontd,edege´r4eom`gnedesoitho secondeshomog`enesdedegr´e2,cequiassureleurcontinuite´etleur nullit´e`al’origine. Finalement, le DL2 def`al’origie`rttsen:elpmiss 2 2 f(x, y) =f((0,+0) + 0 + 0◦(||(x, y)||), puisque le gradient et la matrice Hessienne definigorl’`a)slel(tnunos.e 1

2 3.Calculer les extrema (s’il y en a) et les points d’extremum corre- spondants (?)de la fonction 2 2 f(x, y) = 5x+ 2y−2xy−8x−2y+ 3 2 sur le domaineRpourra chercher d’abord les points critiques de. On fet examiner si ces points sont ou non des points de minimum ou de maximum local.Que pensez-vous du reste dans le DL2 defen un tel point? ∞2 Corrige´.La fonctionfestC, donc continue surR, qui n’est pas compact(=ferme´born´e).Donciln’yapasder´esultatg´en´eralper- 2 mettant d’affirmer l’existence de points d’extrermum pourfsurR. On peut par contre chercher les points critiques def. Enun tel point (x, y) on a donc : ∂ x f(x, y) = 10x−2yet+ 8 = 0∂ y f(x, y) =−2x+ 4y−2 = 0, d’ou`x=y= 1.Doncfa un unique point critiquea= (1,1) sur 2 Rsavoir si ce point esrt un point de minimum ou de maximum. Pour local,one´tudielamatriceHessiennedefen ce point :  !   2 2 ∂ f∂ f 2 (a) (a) 10 −2 ∂x ∂x∂y A:=H(f)(a) = 2 2 =. ∂ f∂ f −2 4 (a) 2 (a) ∂x∂y ∂y Cettematricestsyme´triquer´eelle,doncsesvaleurspropressontr´eelles. Leurproduiteste´galaude´terminantΔ=36deA, donc les deux valeurspropressontdemˆemesigne,etellessonttoutesdeuxpositives, carleursommee´galelatracetr(A) = 14 deAla matrice. DoncAest 2 d´efinie-positive,etdoncaest un pointe de minimum local defsurR. En fait,fˆoynolnpgrdedemee´e2nutnate´x, y, la matrice Hessienne estlameˆmeentoutpoint,etleresteduDL2defen tout point, y compris ena,est identiquement nul.Onnrieee´rcodcneptutout point (x, y),ngioede´meˆmle´ea= (1,1) :     x−1 1 10−2x−1 f(x, y) =f(1,1) + (0,0).+ (x−, y−1), y−1−2 4y−1 2 et puisque le reste est identiquement nul et la matriceA,efid´e-nisipoveti onende´duitque∀(x, y)6= (1,1), f(x, y)> f(1,1) =−2. Doncf admet un minimum en un point uniquea= (1,contre, elle1). Par n’admetpasdemaximum,caronpeutmontrer(nondemand´e)que f(x, y)→+∞quand||(x, y)|| →+∞.

4.Identite´d’Eulerpourlesfonctionshomoge`nes.Soitfde 1 2 classeCsurR. Onsupposefgrdedene`eogomhe´α, i.e. α (1)∀x, y,∀λ >0, f(λx, λy) =λ f(x, y). Montrerd’abordenrevenante.g.`alad´efinitionde∂ x (λx, λy) que∂ x f et∂ y fntons,docisepr´enohscnite`enmogosfoestdon(o´enleragrde 0 pourra poserh=λh).

3 Ensuite,ende´rivantlesdeuxmembresde(1)parrapport`aλet en d´etaillantl’applicationduth´eor`emeded´erivationdesfonctionscom- pose´es,montrerqu’onobtientfinalement: ∀x∂x, y, x f(x, y) +y∂ y f(x, y) =α f(x, y). Corrige´.On a d’abord pour tout (x, y) et pour toutλ >0 : −1 ∂ x f(λx, λy) = limh(f(λx+h, λy)−f(λx, λy)). h→0 0 En posanth=λhn´´et´ei’htlogomlitunasideenetefdne´udti:o,en 0 −10 ∂ x f(λx, λy) = lim h→0 (λ h) (f(λ(x+h), λy)−f(λx, λy)) = 0 α−1 λ ∂ x f(x, y), etdemˆemepour∂ y f. Ensuite, on pose pour tout (x, y:)e´xfiu(λ) =λx,v(λ) =λyetg(λ) := f(u(λ), v(λ)) =f(λx, λytcnocnoiopmoee´snd´erivantcettef))E.g, on obtient : 0 00 g(λ) =∂ x f(u, v).u(λ)+∂ y f(u, v).v(λ) =x∂ x f(λx, λy))+y∂ y f λx, λy). Onrevient`a(1).End´erivantlesdeuxmembresparrapport`aλet en utilisantl’homog´eg´eit´ede∂ x fet∂ y fudtidne´o,enequ 0α−10α−1 g(λ) =λ(x∂ x f(x, y)) +y∂ y f(x, y) =h(λ) =α λf(x, y), α o`uh(λ) :=λ f(x, y)c,qeiu´dmeontrel’identit´e.reluE’d