Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee

Sophia - Antipolis Licence

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique Corrige du TD 5 EXERCICE 1 Methode des approximations successives, ordre de convergence Soient I un intervalle ferme de R, g : I ? I une fonction assez reguliere admettant un point fixe l ? I i.e. g(l) = l. On considere une suite des iteres suivante { x0 ? I donne , xn+1 = g(xn), ?n ≥ 0 . (1.1) a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite (xn)n≥0. b. Calculer l'erreur en = xn? l et donner une condition pour que la methode du point fixe (1.1) soit d'ordre p ≥ 1. On a en+1 = xn+1 ? l = g(xn)? g(l) = (xn ? l) g ?(l) + ... + (xn ? l) p?1 (p? 1)! g(p?1)(l) + (xn ? l) p p! g(p)(cn) , (1.2) ou cn est un reel compris entre xn et l. On trouve que la methode des approximations successives converge a l'ordre p sous la condition : g(k)(l) = 0 ,? k = 1, ..., p? 1 , pour p > 1 , et g(p)(l) 6= 0 , pour p ≥ 1 , (

• methode des approximations successives


• methode de newton


• ?xn ?


• theoreme du point fixe


• abscisse du point d'intersection de la tangente en xn


• illustrations graphiques des methodes iteratives


• ordre de convergence

Sujets

• Licence
• Méthode de Newton
• Théorèmes de point fixe

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques

Anne´e2008/2009

AnalyseNume´rique Corrige´duTD5

EXERCICE 1 Me´thodedesapproximationssuccessives,ordredeconvergence

SoientIinueerefedm´erntllvaR,g:I→Inotcnufeereuli`r´egsseziona admettant un point fixel∈Ii.e.g(l) =lsenuetiuisedre´t.coOnidnsre`e´es suivante ( x 0 ∈Iodnne´, (1.1) x n+1 =g(x n ),∀n≥0. a. Faire un dessin illustrant la construction de la suite(x n ) n≥0 .

b. Calculer l’erreure n =x n −ltdeedlam´ethonpourqueocdntioinoenuren du point fixe(1.1)soit d’ordrep≥1.

On a

e n+1 =x n+1 −l =g(x n )−g(l) p−1p (x−l) ) 0 n (p−1) (x n −l (p) = (x n −l)g(l) +...+g(l) +g(c n ), (p−1)!p!

(1.2)

ou`c n stunr´eelcomprisnerteex n etl. Ontrouvequelame´thodedesapproximationssuccessivesconverge`al’ordrepsous la condition : (k) g(l) = 0,∀k= 1, ..., p−1,pourp >1, et (1.3) (p) g(l)6= 0,pourp≥1, carsousleshypothe`ses(1.3)ona:

x n+1 −l1 1 (p) (p) lim p = limg(c n ) =g(l)6= 0. (x n −l)p!p! n→+∞n→+∞

00 up= 2. En posantM= sg(x) up I  Cas o` x∈  ,onpeut´ecrire

2 M  x n+1 −l  ≤  x n −l  , 2

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