Universite de Nice Sophia Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee

Sophia - Antipolis Licence

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Universite de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathematiques Annee 2008/2009 Analyse Numerique TD 7 EXERCICE 1 Normes vectorielles 1.1 Definitions Soit un entier n > 0. a. Montrer que les applications suivantes definies sur Rn sont des normes sur Rn, x 7? ?x?1 = n∑ i=1 |xi| , x 7? ?x?2 = ( n∑ i=1 |xi| 2 ) 1 2 , x 7? ?x?∞ = max i=1,...,n |xi| . b. Montrer que, pour 1 ≤ p < +∞, l'application suivante definie sur Rn est une norme sur Rn, x 7? ?x?p = ( n∑ i=1 |xi| p ) 1 p . 1.2 Equivalence de normes Montrer les relations suivantes sur Rn, ?x?∞ ≤ ?x?1 ≤ n ?x?∞ , ?x?∞ ≤ ?x?2 ≤ √ n ?x?∞ , ?x?2 ≤ ?x?1 ≤ √ n ?x?2 . 1.3 Relation entre la norme p et la norme +∞ Pour x ? Rn, montrer que lim p?+∞ ?x?p = ?x?∞ . EXERCICE 2 Normes matricielles Soit A une matrice carree d'ordre n > 0, A = (aij)i,j=1,...,n. 1

• ?x?2 ≤ √


• equivalence de normes


• norme sur rn


• ?1 ?


• analyse numerique


• matrice orthogonale


• norme matricielle


• ?x?∞ ≤


• solutions des systemes lineaires

Sujets

• Licence
• Analyse numérique
• Matrice orthogonale

Informations

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Extrait

Universit´edeNiceSophia-Antipolis LicenceL3Math´ematiques

Anne´e2008/2009

AnalyseNume´rique TD 7

EXERCICE 1 Normesvectorielles

1.1De´finitions Soit un entiern >0. n n a.ssruontrerquMtacisnoiselelppa´esdiefinivsuteanRsont des normes surR, n X x7→ kxk=|x i |, 1 i=1 1  n  X 2 2 x7→ kxk=|x i |, 2 i=1 x7→ kxk= max|x i |. ∞ i=1,...,n n b.Montrer que, pour 1≤p <+∞ruteanivsuesniefid´l,a’ppilacitnoRest une norme n surR, 1  n  X p p x7→ kxk=|x i |. p i=1

´ 1.2Equivalencedenormes n Montrer les relations suivantes surR, kxk ≤kxk ≤nkxk, ∞1∞ √ kxkk ≤xk ≤nkxk, ∞2∞ √ kxkk ≤xk ≤nkxk. 2 12

1.3 Relationentre la normepet la norme+∞ n Pourx∈R, montrer que limkxk=kxk. p∞ p→+∞

EXERCICE 2 Normesmatricielles

SoitArd’oreunmetairecacrre´den >0,A= (a ij ) i,j=1,...,n .

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Anne´e2008/2009

Pour 1≤p≤+∞, on note park kecliaenltaitrrdialpcaurl´leeec`amrmeraoleomn p vectoriellek ki.e. p kAxk p kAk= supkAxk= supkAxk= sup. p p p kxk kxk=1kxk ≤1 x6=0p p p a.Montrer que n X kAk= max|a ij |, 1 j=1,...,n i=1 n X kAk= max|a ij |. ∞ i=1,...,n j=1 b.SoitBenurecirtametleel´erietm´syuq.eoMtnerqreuopur (Bx, x) λ min (B)≤ ≤λ max (B), 2 kxk 2 o`uλ min (B) etλ max (B) sont respectivement les plus petite et grande valeurs propres deB. s   t End´eduirequekAk=ρ AA,u`oρest le rayon spectral. 2

EXERCICE 3 Une application

Soit (θ n ) n≥0 ´eeditsurpaiefinenu θ n+1 ≤θ n−1 + 2βθ n +α n ,pour toutn≥1, avecθ n , α n , β∈R + . a.Montrer qu’il existe une matriceAet un vecteurB n tels que    θ n θ n−1 ≤A+B n pour toutn≥1. θ n+1 θ n b.Enedd´reuiequ q n−1 X (n−1)β 2 2 (n−1−i)β θ+α e,pour toutn≥2. n ≤e θ 0 +θ 1 i i=1

EXERCICE 4 Conditionnementd’unematrice

SoitA´eed’ordricecarrnumetaern >0. Pour 1≤p≤+∞, on note par cond p (A) le nombre de conditionnement deAcaleelciriatemmronalcevae´luclk k. p

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Ann´ee2008/2009

4.1Quelquesproprie´te´sduconditionnement Montrerlespropri´et´essuivantes: a.cond p (A)≥1 ; b.cond p (αA) = cond p (A),∀α6;= 0 s ? max|λ i (A A)| i ? ? c.cond 2 (Asbme=r)seono`ul,λ i (A A) sont les valeurs propres deA A ? |λ min i i (A A)| ? etAest l’adjoint deA; max|λ i (A)| i d.siAdnoallescortreeel´e´mteiruqetsys 2 (Asnom`uleb=r)eso,λ i (A) sont min|λ i (A)| i les valeurs propres deA; e.siUest une matrice orthogonale alors cond 2 (U) = 1 et cond 2 (AU) = cond 2 (U A) = cond 2 (A). 4.2 Analyseperturbative Soientxetx+δxolutlessmesesy`tedssoisnesn´liirea Ax=b , (A+δA)(x+δx) =b . kδxk kδAk p p a.Montrer que≤cond p (A) . kx+δxk kAk p p kδxk kδAk p p 1 −1 b.ueeqirdue´dnEsikA δAk<1 alors≤cond p (A) . p −1 kxk kAk1− kA δAk p pp 4.3 Applications Calculerleconditionnementparrapporta`lanormek kde la matrice suivante 2   α−1 −1α−1 0 −1α−1 −1α−1 . . . . . . T α = . . . . −1α−1  0  −1α−1   −1α−1 −1α o`uαer´eel.anrpatmu`eestr

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