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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

revision - matière potentielle : sur les suites

Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2010/2011 Licence Proﬁl Mécanique Semestre 4 Compléments d'analyse réelle M 203' Exercices de révision sur les suites et les fonctions Exercice 1 Soit (un) et (vn) deux suites réelles et soit l ? R. Dire si les énoncés suivants sont vrais et sinon donner un contre exemple : (1) Si (un) converge, alors elle est monotone. (2) Si (un) est décroissante minorée par 0, alors (un) converge vers 0. (3) Si (un) diverge, alors elle est monotone. (4) Si (un) diverge, alors elle est non bornée. (5) Si (un) est décroissante et non minorée, alors elle tend vers ?∞. (6) Si (|un|) converge vers 0, alors (un) converge vers 0. (7) Si (|un|) converge vers l, alors (un) converge vers l ou ?l. (8) Si (un) converge vers l, alors (|un|) converge vers |l|. (9) Si (un) est à termes strictement positifs et limun = l, alors l est strictement positif. (10) Si (vn) converge vers 0, alors (unvn) converge vers 0.

compléments d'analyse réelle

v0 ≤

formule de taylor avec reste intégral

licence proﬁl

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(u ) (v ) l2Rn n
(u )n
(u ) 0 (u ) 0n n
(u )n
(u )n
(u ) 1n
(juj) 0 (u ) 0n n
(juj) l (u ) l ln n
(u ) l (juj) jljn n
(u ) limu =l ln n
(v ) 0 (u v ) 0n n n
2(u ) (u ) (u )n nn
2(u ) (u ) (u )n nn
(u ) ln
n 1X
S = u :n p
p=0
l = 0 S =n 0n
S =n ln
(u ) (v ) 0<v u n 0n n 0 0
u +v pn n
u = v = u v :n+1 n+1 n n
2
v u n 0n n
nom.s(7)erge,Siqueretd'analysedeCompl?mentsExer4ciceeourSemestrdeuxcon2vvergeellevtendersconet,.alorsalorsaniqueestcpM?aleurold?croissanconconvOnergeorn?e.vsuppersquePr.oug?n?raleers.alors(8)SiSivencergeLictminor?e2010/2011anconMonv?ergetrervuneersExer1et,unealorsbresleergeanLilldeosegiesSichnolonone(1)conerge,vMonerge1versersMonTleetmonotone.eserge..(9)SoienSidivSciencsuitesdessuitestsr?eUniversit?t?ers1ettermesconstricteme.nsitd?croissanp?nonc?sositifs(2)etellsonquetsonvraiseSi(2)(1)alors,toutalorsv:d'adh?rence.estcicestrictemenSoitttepestositif.suite(10)nomSicomplexesexemplevtretergeerscon.conpveergefonctionsv(5)ersbunest,alorsalorsOndonnerosesinondivv.ettrerconciceelSoitconvvSierge(2)vtrerledanscas.(4)(11)estSivMvalorselle,Exer203'3estttelleerge,queetersdeuxvr?ellesergedeuxvdeconbresconlsv?rianerge,(3)alorsetExercicesvdevr?visionpsurtoutconsoiv,erge.Dire(12),SiparlestesuitesestSiles(6)suivestSitellemonotone.quee.(1)ettrererslesvsuitestendtcontvrmeserge,ositifs.alorsMonellequealorsversvpminor?e,ournonconaers.est?u vn n
un
28(p;q)2N ; u u +u :p+q p q
p q r u qu +upq+r p r
p N
u un p
lim :n!+1
n p
n p
u un p
lim lim :n!+1 p!+1
n p
(u =n)n
(u )n
v = sup up nnp
a (u ) a lim vn p!+1 p
l = lim v (u )p!+1 p n
lim u = lim supu :n!+1 n n
p!+1 np
x> 0
1
2xf(x) =e :
n Pn

1(n)f (x) =P f(x):n
x
1 +f C R
2f :R!C C f(0) = 0
2 0
Pn k 0 2S = f( ) f (0) =2n 2k=0 n
prolongetrersuitequeSoit2d?croissanquebd?duirestEn(4)(3)suite.surSoienclasseardepen.ergen(3)te.Monte.trertrerquedetExerdeuneeuclidienne?riandivision?crirelaautiliser(?aMonourrconpersestSoituneestvetaleurConclured'adh?rence(2)dequelaunesuitetrerOnorn?e.,7etr?elletroisfonction.deux(4)suitesConclure.queformenatiers.ecMonintrerciceque..que(2)(1)SoitEnappartenanvtd?duirequequeet(2)pd?croissantrerestositivteecroissanv(4)Monque.la?MonExerquecicese6enOnfonctionpclasseose,Monp(1)our.?riancicetSoit4*et,suiteSoitunelimite.deExerlescicevsuitetMonconune5**suite(1)r?ellelalaule(1)TMonylortrerv(parrer?currence)equet?gralpl'ordreour)toutExerde(2),trerillaexisteerge.unvpv.d?duire(3)tconergeolyn?meersd'adh?rencevaleurvtelquequeEnvunem?me.la2a b c ae +be+c = 0
a =b =c = 0 e 2
x xf(x) =ae +ce :
(k)f (x) k 1
n 1 n
f(1)
R 1 n 1 (n)(1 t) f (t)dt
0
Z 1 jaje+jcjn 1 (n) (1 t) f (t)dt