UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE Master Ingenierie Mathematique S2

Description

Niveau: Supérieur, Master
UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE Master 1 Ingenierie Mathematique, S2 2010 - 2011 Ouverture a la physique: Mecanique quantique Responsable: S. De Bievre Examen: lundi 14 mars 2011 14h00 - 16h00 Un conseil: n'essayez pas de tout faire, l'examen est un peu long. Mieux vaut travailler serieusement une partie. Le bareme est donne a titre indi- catif. Un avertissement: je ne lirai pas ce qui n'est pas clairement redige. Une requete: veuillez commencer une nouvelle feuille pour un nouvel exer- cice. 1. [7 points] On considere, pour tout a ? R+? , la fonction d'onde ?a(y) = 1 √ 2a . si |y| ≤ a, = 0 sinon (i) [2 points] Tracer qualitativement |?a(y)2| pour a = 1/2, a = 1, a = 2. Calculer ??,Q?? et ∆Q en fonction de a et expliquer le resultat en termes de ce qu'on observe sur les graphes. (ii) [2 points] Calculer ?a(p). Que vaut ??a, P?a?? Tracer qualitativement |?(p)|2 pour les memes valeurs de a qu'en (i). Qu'observez-vous? Com- parer avec le resultat de (i) et expliquer en quoi ceci illustre le principe d'incertitude.

• equations d'ehrenfest correspondants


• hamiltonien


• point d'equilibre du systeme decrit par l'hamiltonien


• hamiltonien quantique correspondant


• solution de l'equation de schrodinger libre


• operateurs de position et d'impulsion habituels

Sujets

• Hamiltonien

Informations

• Publié par: cidur
• Publié le: 01 mars 2011
• Nombre de lectures: 76
• Langue: Français

Extrait

UNIVERSITE DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES DE LILLE Master1Inge´nierieMath´ematique,S2 2010 - 2011 Ouverture`alaphysique:Me´caniquequantique Responsable:S.DeBi`evre Examen: lundi14 mars 201114h00 - 16h00 Un conseil:n’essayez pas de tout faire, l’examen est un peu long.Mieux vauttravaillers´erieusementunepartie.Lebareˆmeestdonn´e`atitreindi- catif. Unavertissement:jeneliraipascequin’estpasclairementre´dig´e. Unerequeˆte:veuillezcommencerunenouvellefeuillepourunnouvelexer- cice.

+ 1.tourtou,pre`edisnocnO]stniop7[a∈R, la fonction d’onde ∗ 1 ϕ a (y) = √ .si|y| ≤a, 2a = 0 sinon 2 (i) [2 points] Tracer qualitativement|ϕ a (y)|poura= 1/2, a= 1, a= 2. Calculerhϕ, Qϕiet ΔQen fonction deaexptequlielrese´ratlutnetsreem de ce qu’on observe sur les graphes. (ii) [2 points] Calculerϕˆ a (pvaut). Quehϕ a , P ϕ a i? Tracerqualitativement 2 |ϕˆ(p)|ruopalsvrsdeeusmlemeˆeaqu’en (i).Qu’observez-vous? Com- pareravecler´esultatde(i)etexpliquerenquoiceciillustreleprincipe d’incertitude. (iii)[3points]Onconside`remaintenant,poura >0 etp 0 ∈R, la fonction p y 0 i ~ ϕ a,p 0 (y) = eϕ a (y). Montrer queϕˆ a,p 0 (p) =ϕˆ a (p−p 0 valent maintenant). Quehϕ a,p 0 , Qϕ a,p 0 iet hϕ a,p o , P ϕ a,p 0 i? Soitψ t e(salotuoiltiuadeonelndeq’´regnrbilrhcSido¨H= 2 P ) avec condition initialeψ 0 =ϕ a,p 0 , avecp 0 <0 etase`rt,recarT.1= 2m 2 qualitativement,|ψ t (y)|en fonction dey, pour des tempst >0. Comment ´evoluelepaquetd’ondes?

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2.conss]Onrel’id`e]si(iotniotn[)p2ueiq6p[imahnotlcneissal 2 p H(q, p) =−F q, 2m 2 ou`(q, p)∈Ro`uteFceirletsmteuunoeecvoenmsttnantepositive:ild´ sur une droite d’une particule de massemnotscrcenaetumissonefoe`auF. ´ Ecrireles´equationsdemouvementcorrespondantes,etlesr´esoudre:´ecrire q(t) etp(t) en fonction d’une condition initialeq(0) =q 0 , p(0) =p 0 . Quel typedemouvementex´ecutelaparticule? (ii)[4points]Onconside`remaintenantl’hamiltonienquantiquecorrespon- dant: 2 P H=−F Q, 2m 2 qui agit surL(R, dy)ueto`QetPoititendsrusopeltsesnoaretpoe´ d’impulsionhabituels.J’utiliseicilesnotationsdupremierpolycopie´que ´ jevousaidistribue´.Etablirles´equationsd’Ehrenfestcorrespondantsa`cet Hamiltonien,etlesr´esoudre.Comparera`cequevousaveztrouve´sous(i).

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3.uqecrah1[p2io]stniop3[)i(]stnou,pre`eidnscoOnF∈R, l’hamiltonien classique 2 p1 2 2 H F (q, p+) =mω q−F q.(0.1) 2m2 Ils’agitd’unoscillateurharmonique,auquelonappliqueuneforcesupple´- ´ mentaireFweotdsNep,iutlnoHaminsdeatio´equrircseleE.tceurpon, hamiltonien et montrer que, sit→(q(t), p(testsolutiondes´etauqsnoi)) de Hamilton pour l’hamiltonien ci-dessus, alorst→(q˜(t), p(tu`o,))q˜(t) = F q(t)−q ∗ , avecq ∗ = 2 ontis´denetulusoHedslimaauqenoitteosnd,’un mω oscillateur harmonique.Pourquoi appelle-t-onq ∗ reduilibuqe´’dtniopel syst`emed´ecritparl’hamiltonien(0.1)?Quelleestl’´energiedelaparticule lorsqu’elleesten´equilibre? Onconsid`eremaintenantl’hamiltonienquantiquecorrespondant: 2 P1 2 2 H F = +mω Q−F Q.(0.2) 2m2 Onsouhaitede´terminersesvaleurspropresetsesfonctionspropres. ´ (ii)[3points]Etablirtoutd’abordlese´galite´ssuivantes:pourtouta∈R, 2 pour toutφ, ψ∈L(R, dy), on a aP aPaP aPaP −i−i ii−i ~ ~~ ~~ eψ(y) =ψ(y−a),heψ, φi=hψ,eφi,eQe =Q+a. Indication:Polaurrndeelatirdaparirfautpeone,eri``tceridluclacnue aP aP i−id premie`re,ouonpourraintroduireK(a) := eQe etcalculerK(a). ~ ~ da Eninte´grantl’´egalite´obtenue,onobtientler´esultat. (iii)[2points]Utiliserler´esultatde(ii)pourde´montrerque 2 P1 q Pq P ∗ ∗ i−i2 2 ~ ~ eH F +e =mω Q−E ∗ =H 0 −E ∗ 2m2 2 1F ou`E ∗ = 2 . 2 mω (iv) [2 points] Montrer que, siϕ n satisfait 1 H 0 ϕ n =~ω(n+ ), 2 alors q P ∗ −i ψ n = eϕ n ~ satisfait   1 H F ψ n =~ω(n+ )−E ∗ ψ n . 2 2 (v) [2 points] Expliquer pourquoi lesψ n forment une base deL(R). Com- parerlesniveauxd’´energiedel’HamiltonienH F edllsea`ecH 0 . Pouvez-vous donneruneexplicationentermesdelame´caniqueclassiquea`cequevous observez?

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eq:drivenosc