Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Agregation externe Annee 2003-2004 Corrige de l'exercice test de Neyman-Pearson et detection radar Commenc¸ons par quelques rappels du cours. On considere un modele statistique( ?,F , (P?)??? ) . En pratique, on prend pour P? la loi de l'echantillon observe (considere comme vecteur aleatoire a composantes i.i.d.) lorsque la valeur du parametre inconnu est ?. On se donne deux parties disjointes ?0 et ?1 de ?. Le probleme est de decider apres observation d'un ? ? ?, en pratique apres observation d'un echantillon numerique (x1, . . . , xn), si la vraie valeur du parametre est dans ?0 ou dans ?1. On privilegie l'une des deux hypotheses : (H0) : ? ? ?0, appelee hypothese nulle (celle a laquelle on a « envie » de croire). L'autre hypothese (H1) : ? ? ?1 est appelee hypothese alternative. Il importe de noter que ?1 n'est pas forcement egal a tout le complementaire de ?0 dans ?. Une statistique de test ? est une application mesurable ? ? [0, 1], donc en pratique une fonction mesurable du vecteur echantillon observe.

• ?? quantile de la loi gaussienne standard


• erreur de deuxieme espece


• loi de l'echantillon


• frequence empirique des cibles


• test de neyman


• hypothese nulle


• vecteur ligne des moyennes empiriques

Sujets

• Pearson
• Hypothèse nulle

Informations

• Publié par: rasum
• Nombre de lectures: 20
• Langue: Français

Extrait

Agre´gationexterne

Universit´e U.F.R. de Bˆat.M2,

des Sciences et Technologies de Lille Mathe´matiquesPuresetApplique´es F-59655 Villeneuve d’Ascq Cedex

Ann´ee2003-2004

Corrig´edel’exercicetestdeNeyman-Pearsonetde´tectionradar Commen¸consparquelquesrappelsducours.Onconside`reunmod`elestatistique   Ω,F,(P θ ) θ∈Θ . En pratique, on prend pourP θ vresbonoisnoc(e´´el’deoilltianchlla´ed´er commevecteurale´atoirea`composantesi.i.d.)lorsquelavaleurduparame`treinconnu estθ. On se donne deux parties disjointes Θ 0 et Θ 1 .LeΘdder´ecidtdeemselbe`peor apr`esobservationd’unω∈atrvseobn´’undiolitnahcee´munnolriqueΩ,taqinerp`rseeupa (x 1 , . . . , x n padum`rareettdesΘsna)s,livaareiavelru 0 ou dans Θ 1 . Onprivile´giel’unedesdeuxhypoth`eses:(H 0 ) :θ∈Θ 0 ppa,luelenesh`otypeh´eel (cellea`laquelleona«envie»ua’Lhertiorc.)ere(deotypesh`H 1 ) :θ∈Θ 1 pptaese´eel hypothe`sealternative. Il importe de noter que Θ 1 uotaeltptsa’nsercfome´e´entl`ga comple´mentairedeΘ 0 dans Θ. Une statistique de testϕest une application mesurable Ω→[0,1], donc en pratique unefonctionmesurableduvecteur´echantillonobserve´.Letestassoci´e`aϕestd´efinipar lare`gleded´ecisionsuivante: – Siϕ(ω) = 0, on accepte (H 0 ). – Siϕ(ω) = 1, on rejette (H 0 ). – Siϕ(ω) =p∈]0,1[, on rejette (H 0 ve)ae´tilibaborpcpet on l’accepte avec proba- bilit´e1−p. On dit que le test est´edrmteisintesiϕne peut prendre que les valeurs 0 et 1. Sinon, on parle de testdoanres´mioustochastiquesetne´dtacelu’ds.nsDanfitialte,ond´eterminis −1 re´gioncritiqueour´egionderejetR:=ϕ({1}) ={ω∈Ω;ϕ(ω) = 1}. Clairement dans ce cas, la fonctionϕ’´tsriecreuepϕ=1 R . Lade´cisionprisea`l’issuedutestpeutdonnerlieua`deuxtypesd’erreurs –esp``ereecerruele’erimdrpeter(rejeutiec`aonsiqsH 0 ) alors qu’elle est vraie, –eurr’elece`pseeme`ixuededrnsiste`aquico(caectpreH 0 ) alors qu’elle est fausse.

Acceptation de (H 0 ) Rejet de (H 0 )

(H 0 ) vraie Pas d’erreur Erreurpremi`ereesp`ece

(H 0 ) fausse Erreurdeuxie`meespe`ce Pas d’erreur

Oncontroˆlel’erreurdepremie`reesp`eceparleniveauα ϕ fie´d,tsetudrnipa

α ϕ := sup E θ ϕ. θ∈Θ 0 L’erreurdedeuxi`emeespe`ceestcontroˆle´eparlaquantit´e   sup 1−E θ ϕ . θ∈Θ 1

(1)

(2)

2

Onde´finitaussilafonctionpuissancedu test par

β ϕ : Θ 0 ∪Θ 1 →[0,1],

θ7→E θ ϕ.

Ch.Suquet,T.P. Radar

(3)

Dans ces formules, E θ ϕlealriaboire´eatd´l’neigesnare´pseavaledecϕsous la loiP θ . Il est utile de noter que E θ ϕlit´ederejeter(ltseorpaibabH 0 ) quand la vraie valeur du parame`treestθxuyhededcesanalsplesssim`esepoth(.Ds)urcof.(ci.e.Θ 0 ={θ 0 }et Θ 1 ={θ 1 }),αderejeteabibil´ttlesroaper(H 0 ) alors qu’elle est vraie et 1−E θ 1 ϕest la probabilite´d’accepter(H 0 ) alors qu’elle est fausse. On dit que le test estsans biaissi pour toutθ∈Θ 1 ,α ϕ ≤E θ ϕ, autrement dit si laprobabilit´ederejeter(H 0 ) lorsqu’elle est vraie (i. e.lorsqueθ∈Θ 0 ) est toujours inf´erieureou´egalea`laprobabilit´ederejeter(H 0 ) lorsqu’elle est fausse (i. e.lorsque θ∈Θ 1 ).

Ex 1.aradnrioctte´eTestdeNraosendtyeam-neP[2] Unradaractifdesurveillancea´erienneadescaracte´ristiquestellesqu’unee´ventuelle ` ciblere´fl´echitNlabnu’dsA.egayad’deail’teaitrundapaemtn´t,e=20impulsionslor cesN-resbo’druteecnvtuenssniurelofcabideleescnplrs´ieoaismdpeuesfle´necncshri´e vations (z i ) 1≤i≤N avec

(H 1 ) (H 0 )

z i =A+b i z i = 0 +b i

enpr´esencedecible, en l’absence de cible,

ou`lesb i esnniesstae´laseuagseriontdesoiablsvarN(0, σin)elisantles´dpeneadtnseom´d divers bruits (σest connu). La figure1sres´seopurilnthaecn´euntsenoitavresbo’dnol (H 0 ) et sous (H 1 .´en´ereremrbmeeˆuolrp)esilipcrt.uiicVo`ivrgalaayatestn

// affichage graphique bruit et signal+bruit

N=20; sgm=0.6;rand(’normal’);Br=sgm.*rand(N,1);//bruitsimule´ t=(1:N)’; A=0.8; SgBr=A+Br;// signal + bruit xbasc(); xsetech([0,0,1,0.5]); plot2d3(t,Br,style=2,rect=[0,-2,22,3],strf=’175’,leg=’bruit’) xsetech([0,0.5,1,0.5]); plot2d3(t,SgBr,style=2,rect=[0,-2,22,3],strf=’175’,leg=’signal + bruit’)

Danscecontexte,leserreursdepremi`ereetdedeuxie`meespe`ceontunesignification bienconcre`te: (H 0 () vraie H 0 ) fausse Acceptation de (H 0 rNond´etection)aPdse’rrue Rejet de (H 0 ) Fausse alarme Pas d’erreur

Ch.Suquet,T.P. Radar

Fig.eurB–1t´uibralgnsietitA= 0.8,σ= 0.6

3

1)Onestexactementdanslasituationdonne´ecommeexempleencours:testde l’hypoth`esenulle«ra´esp’etauevnclm 0 »ertnochtopyh’ltanreviese`etla«ceanesl’erp´ vautm 1 », avecm 0 etm 1 > m 0 l’´echanconnus,nneucoceanrivadeensisuagtnate´nollit 2 σenonel’´onsdtatiseonevlcA.ostnelsiennesobserv´eese´laiotagserssuae,c´svleiaaresbl z i ,m 0 = 0 etm 1 =A. On sait alors que le test de Neyman-Pearson de niveauαde (H 0 ) contre (H 1 dnregeoien´r)uaejetRde la forme n o t α σ N R= (z 1 , . . . , z N )∈R;z > √ , N o`uz:= (z 1 +∙ ∙ ∙+z N )/Nseltempiriquamoyenneuseeselrlace´lucnsioseobatrvz i ett α est le 1−αquantile de la loi gaussienne standardN(0,niquesolution1infie´d,)u’lemmoc del’´equation 1−Φ(t) =α,(4) Φ´etantlaf.d.r.deN(0,´eedtnjeredeongie´raleuqeuqramertnenemu1aucenpOd.n) deAr.leseLaacelcualttemdtnapircreptlt´eestetd)ffiiuclu(eepittdesnbouiciu.Vo l’utilisation decdfnor. alpha=10^(-6); talpha=cdfnor("X",0,1,1-alpha,alpha); N=20; sgm=0.6; bornrej=talpha.*sgm.*N^(-0.5) // rejet si moyenne depasse cette valeur Enex´ecutantcescript,onobtientpourbornederejet0.6378. Voici maintenant comment vectoriser ce bout de script si on veut essayer diverses valeurs deαe´rcnae,c(poei’deurrr surcdfnorcomprise. . .)