Universite des Sciences et Technologies de Lille U F R de Mathematiques Pures et Appliquees Bat M2 F Villeneuve d'Ascq Cedex

Charles Suquet

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
Universite des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Mathematiques Pures et Appliquees Bat. M2, F-59655 Villeneuve d'Ascq Cedex Theoreme limite central Charles SUQUET Agregation Externe 2005–2006

• preuve du theoreme de levy sur l'equivalence entre la convergence en loi


• variable aleatoire


• equivalence


• meme loi


• theoreme


• approximation poissonienne


• convergence en loi


• vitesse de convergence


• parametre inconnu

Sujets

• Suquet
• Variable aléatoire
• Équivalence
• Théorème
• Vitesse de convergence

Informations

• Publié par: rasum
• Nombre de lectures: 13
• Langue: Français

Extrait

Universit´edesSciencesetTechnologiesdeLille U.F.R.deMathe´matiquesPuresetApplique´es Bˆat.M2,F-59655Villeneuved’AscqCedex

The´ore`melimitecentral

Agre´gationExterne

Charles SUQUET

2005–2006

The´ore`melimitecentral

LesX k iotarserlee´dselsvdeiaaresbl´ealeepscapeorabibil´efiniessurlemˆemes´ntta´e etind´ependantes,onnote n S n := X X k , k=1

eton´etudielaconvergenceen loide ∗ S n −ES n = S n : √ VarS n , lorsquecettequantite´estd´efinie.Onenvisageraensuitelecaso`ulesX k sont des vecteurs d ale´atoiresdeR.

1 Cas d’une suite i.i.d. 1.1 De Moivre-Laplace The´ore`me1.Si lesX k ´dnitnostnadnepetr`eeesetdemˆemeloideeBnruolldiperama p∈]0,1[, avecq:= 1−p, on a S n √ n − q p p n = r qp n  n n −p  − n − → l − + oi − ∞ → S n ∗ := S N(0,1). Commelafonctionder´epartitionΦdeN(0,1)est continue surR`tuaae´icviuq,ce ∀x∈R,P(S n ∗ ≤x)−− → − + − ∞ →Φ(x) = Z − x ∞ exp  − t 2 2  √ d 2 t . π n Preuve.tsronoihedecqieud´emLarationstedesurusnobntnocloˆr´eth`eorremesepo coefficients binomiaux via la formule de Stirling. On pourra la consulter en annexe (cf. B.4tdecerˆeint´).L’ehcoetterppa«reme´eaintle´»edelavitessie´deeedodnnrenuedest convergence.Lapreuvemoderneparlesfonctionscaract´eristiquesestquasiimm´ediate, cartoutletravailae´t´efaitdanslapreuveduthe´ore`medeLe´vysurl’´equivalenceentre laconvergenceenloietlaconvergencedesfonctionscaracte´ristiques.

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Uneapplicationdirectedeceth´eor`emeestlaconstructiond’intervalles de confiance pourl’estimationd’uneprobabilit´einconnuepnationd’ubo’lvrestrapedri`a´echantlioln denavirbaeler`mtentdaeneprapadeesonreBeds´dniilluppourrons.die´oCsnt >0 l’´evenement ´ A n,t :=  ω∈Ω;−t≤ r n pq  S n n (ω) p  ≤t  . − Lethe´or`dedeMoivre-Laplacenousditquepournassez grand, on peut utiliser eme l’approximation : P  A n,t  'Φ(t)−Φ(−t) = 2Φ(t)−1. Cecipeutser´e´ecrire P  n S n −t r n qp ≤p≤ n S n +t r p n q  = 2Φ(t)−1 +ε n . On ignore la valeur dep, donc a fortiori celle de √ pq. Heureusement, il est possible de la majorer carp(1−p) est maximal pourp= 1/`.uD’o2 √ pq≤ r 4 = 11 2 ,(1) de sorte qu’en notant B n,t :=  ω∈Ω; S n (ω n ) − 2 √ t n ≤p≤ S n n (ω 2 + ) √ n t  , l’inclusionA n t ⊂B n,t nous donne : , P  B n,t  ≥2Φ(t)−1 +ε n .(2) En pratique,nsexfitrvsede´etoeeobnaun´mreqivslauesrcitesuesexplix 1 , . . . , x n ´ quel’oninterpr`etecommelesvaleursdeX 1 (ω), . . . , X n (ω) pourunmˆemeωtir´eau sort (suivantPuelavenuire´munrr´npceond’ceenessedt.)nOqueexplicite,S n (ω)/n= (x 1 +∙ ∙ ∙+x n )/nselre´dise,donisouspxerfiS n (ω)/n= 0,tream`eeparourlesprorop35P. inconnupl’intervalle de confiance I n,t =  0,53− 2 √ t n ; 0,  2 53 + √ t n  , c’est faire leparique leωietbansndrvsees´eboB n,t riLa.ilabobpragede´tiapecreng estminor´eepar2Φ(t)−1 +ε n . On dit queI n,t est un intervalle de confiance pourp avec unniveau 1 d’au moins 2Φ(t)−1 +ε n . En pratique, on laisse tomber leε n et on 1.Ilyaiciunpi`eges´emantique:supposonsqu’onaittrouv´eI n,t = [0,51; 0,55] avec un niveau de confiancede95%.Ilesttout`afaitincorrectd’´ecrire«P(p∈[0,51; 0,55])≥0,95». En effet,pn’a rien d’ale´atoire,c’estuneconstante.L’ale´atoireconcernenotreignorancesursavaleur.Mˆemesionconside`re p,lapantebilirobaaeotae´lnotsrice[0`aceannosede´tnetrappaomcunmearevblia,51; 0,55] vaut 0 ou 1, etcommeonnepeutpasexclurelepremiercas,onnepeutpasminorercetteprobabilite´par0,95.

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Ch.Suquet,TLC

1. Cas d’une suite i.i.d.

de´terminetevuapourunnirexempleednoaP.Φubatitalceˆala`ah´ocgreedefaappr¸con deconfiancede95%,onestramen´ea`lare´solutiondel’e´quationΦ(t) = 1,95/2 = 0,975 d’ou`t'1,96, ce qui nous donne l’intervalle I n =  S n n (ω) − 2 1, √ 9 n ; 6S n n (ω 2 + 1), √ 96 n  ,au niveau de confiance 95%. Enfaitlesstatisticienspr´ef`erentunevariantedecetteme´thodepourobtenirdes intervallesdeconfiancepluse´troits,notammentquandpn’est pas trop proche de 1/2. L’ide´eestderemplacerlavarianceinconnuepqdeX 1 par unestimateurau lieu de la majorerdefa¸concertainepar(1). Ainsi en estimantpqparM n (1−M n u)`oM n :=S n /n, on obtient au niveau de confiance 95% l’intervalle J n =  M n (ω)−1,96 r M n (ω)(1 n −M n (ω) ; ) M n (ω) + 1,96 r M n (ω)(1 n −M n (ω))  . La construction des intervalles de confiance pose naturellement la question de la vitesse de convergencetiaremianotoMviedede`eme´roneffece.Eaplare-Lnsdathle pouvoircontroˆlerl’erreurcommiseci-dessusenlaissanttomberleε n . Pour mesurer cette vitesse de convergence, introduisons Δ n := sup|P(S ∗ n ≤x)−Φ(x)|. x∈R Il est de bon ton de savoir que la vitesse de convergence vers 0 de Δ n est enO(n −1/2 ) et que la constante duOexplose quandpeciusprtsplulta´rseD.sere1so0vursvendtes ´ sontpr´esente´sdansl’annexeB, sectionB.5isalrpueevudhte´(voirausdeme`eorde Moivre-Laplace pour justifier leO(n −1/2 )). Remarque 2.Lorsquenpest«petit», l’approximation gaussienne de la binomiale contenuedanslethe´oremededeMoivre-Laplaceestavantageusementremplace´epar ` l’approximationpoissonienne.Pluspr´ecis´ement,sip=p(n) et si pour une certaine constanteλ >0,np(n)→λ,S n converge en loi vers Pois(λ-eiCu.q)ec´eetctneevgnor vaut 2 a:` e −λ λ k ∀k∈N,P(S n =k)− n − → − + − ∞ → k! . 1.2Leth´eor`emelimitecentraldanslecasi.i.d. Theore`me3.Soit(X i ) i≥1 itedevarunesuepe´dnis,setnadnalesbliareoiat´eemeldemˆoi ´ etdecarre´int´egrable(etnonconstantes).Notonsµ=EX 1 ,σ 2 := VarX 1 avecσ >0. Alors S n ∗ := S √ n V − ar E S S n n = S n σ − √ µn n − n − → l − + io − ∞ →N(0,1). 2.Pourjustifiercetteequivalence,ilsuffitd’utiliserlacaract´erisationdelaconvergenceenloiparla ´ convergencedesf.d.r.entoutpointdecontinuite´delaloilimite.

Ch.Suquet,TLC

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