UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES SUJET D'EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2eme annee Duree du sujet : 2 heures Analyse 2-Semestre 3bis Responsable : G. Eguether LCMIN3U1C2 Documents non autorises Date : juin 2008 Calculatrices non autorisees Exercice 1 Soit a ? R et n ? N, et soit fn la fonction definie sur R par fn(x) = nx3 + a nx2 + 1 . Determiner l'ensemble des nombres a pour lesquels la suite (fn)n≥0 converge uniformement sur R. Exercice 2 Etudier la nature de la serie de terme general un = (n!)2 (2n)! , puis la nature de la serie de terme general vn = (n!)2 (2n)! sin n. Exercice 3 Determiner la solution de l'equation differentielle y??(x)?2xy?(x)?2y(x) = 0, verifiant y(0) = 1 et y?(0) = 0. Exercice 4 Determiner le rayon de convergence R de la serie entiere de terme general xn2 n . La serie converge-t-elle si x = R ? si x = ?R ? Exercice 5 Calculer la derivee de la fonction F definie sur R par F (x) = x2+1 ∫ 2x?1 et2dt . Exercice 6 Soit I(?) = ∞ ∫ 0 dx (1 + x2)(1 + x?) .

• nanxn ?


• coefficients impairs


• sujet des examens


• solution de l'equation differentielle


• indice de sommation dans la premiere

Informations

• Publié par: vehot
• Publié le: 01 juin 2008
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Extrait

UNIVERSITE HENRI POINCARE NANCY I FACULTE DES SCIENCES

SUJET D’EXAMEN DIPLOME : Licence MI 2`nne´meaee´deDeru:2etujusesurhe Analyse 2Semestre 3bisResponsable : G. Eguether LCMIN3U1C2Documentsnonautoris´es Date:juin2008Calculatricesnonautoris´ees

Exercice 1Soita∈Retn∈N, et soitf n rusolnafioct´endiefinRpar 3 nx+a f n (x) =. 2 nx+ 1 D´eterminerl’ensembledesnombresapour lesquels la suite (f n ) n≥0 net´mmenvercoiforgeun surR. 2 (n!) Exercice 2ers´deieretuladereidanalutE´nrelaetmrgee´u n puis la nature de= , (2n)! 2 (n!) lase´riedetermeg´ene´ralv n = sinn. (2n)! 00 0 Exercice 3ntre´eiffellieinDe´retermlutilaso’le´noedoidnuqtay(x)−2xy(x)−2y(x) = 0, 0 v´erifianty(0) = 1 ety(0) = 0.

Exercice 4D´eretnemirelrnoyaocedrevneegcnRlare´ne´reeial´sedrmegdete`ereenti 2 n x .saLleelistergveonecri´ex=R? six=−R? n 2 x+1 Z 2 t Exercice 5e´viledealrere´dnonafioctCalculFd´unrieesfiRparF(x) =e dt. 2x−1 ∞ Z dx Exercice 6SoitI(λ) =. Montrer queI(λrevnopegotru´rtueelco) 2λ (1 +x)(1 +x) 0 λttietne´rglaeeunetcalculerceleabrivadentmeegnahceltnasilitt= 1/x. +∞   Z n+1 arctanx n Exercice 7mitelaliinertermDe´(ealedtiusa n e´d)iefinrpaa n =dx . 2 1 +x 0

Corrig´e Exercice 1 Cherchons la limite simple de la suite (f n ). Six= 0, on af n (0) =a, et la suite (f n (0)) converge versa. 3 x+a/n Six6= 0, on af n (x) =et la suite (f n (x)) converge versx. La limite simple est 2 x+ 1/n donc la fonctionfd´arepniefi  asix= 0 f(x) = xsix6= 0 ∗ On remarque quefest continue surRet n’est continue en 0 que sia= 0. Comme les fonctionsf n sont continues surRonacrveelquurporeaisscee´nnoitidnocenu, gence soit uniforme est que la fonctionfsoit continue surR, ce qui n’est donc le cas que sia= 0. Ilrestea`´etudierlaconvergenceuniformelorsquea= 0. On a dans ce casf= Id R . Etudions la fonctiong n =f−f n tnocesno,eriapmiseerditu´ed’teenseelleest.Comm variations sur[ 0,+∞[ . 3 nx x g n (x) =x−=. 2 2 nx+ 1nx+ 1 Onobtientend´erivant 2 1−nx 0 g(x) =. n 2 2 (nx+ 1) La fonctiong n [ 0est croissante sur,1/ n] etvarie deg n 0)(`a=0g n (1/ n) = 1/(2n), puisellede´croitsur[1/ n,+∞varie de[ etg n (1/ n) = 1/(2nlim) `ag n (x) = 0.Il x→+∞ enre´sulteque 1 ||g n || ∞ =||f n −f|| ∞ =. 2n La suite (||f n −f|| ∞ ) converge vers 0, donc la suite (f n orm´uniftveremen)segrevnocf surR. Exercice 2 u n+1 Calculons .On obtient u n 2 u n+1 ((n(2+ 1)!)n)!n+ 1 = =. 2 u n (2n+ 2)!(n!) 2(2n+ 1) Ilenre´sultequelasuite(u n+1 /u n ) converge vers 1/4<elgeedse`r`rald’aponc,1,d d’Alembert,las´eriedetermeg´ene´ral(u n ) converge. Alors|v n | ≤u n qeeual´srne´ustl,etilelareegrmn´´eieertedev n converge absolument, donc converge.

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Exercice 3 Ende´rivantdeuxfois,ona ∞ X 0n−1 y(x) =na n x , n=1 puis ∞ X 00n−2 y(x) =n(n−1)a n x . n=2 Alors ∞ ∞∞ X XX 00 0n−2n n y(x)−2xy(x)−2y(x) =n(n−1)a n x−2na n x−2a n x . n=2n=1n=0 d’ou`,enremarquantquena n est nul sin= 0, ∞ ∞∞ X XX 00 0n−2n n y(x)−2xy(x)−2y(x) =n(n−1)a n x−2na n x−2a n x . n=2n=0n=0 Enchangeantd’indicedesommationdanslapremie`resomme, ∞ ∞ X X n−2n n(n−1)a n x= (n+ 2)(n+ 1)a n+2 x , n=2n=0 donc ∞ ∞∞ X XX 00 0n nn y(x)−2xy(x)−2y(x) =(n+ 2)(n+ 1)a n+2 x−2na n x−2a n x , n=0n=0n=0 ou encore ∞ X 00 0n y(x)−2xy(x)−2y(x[() =n+ 2)(n+ 1)a n+2 −2(n+ 1)a n ]x . n=0 L’e´quationdevientdonc ∞ X n [(n+ 1)(n+ 2)a n+2 −2(n+ 1)a n ]x= 0, n=0 etenidentifianttermea`terme,ona,pourtoutn≥0, (n+ 1)(n+ 2)a n+2 −2(n+ 1)a n = 0, soit, puisque (n+ 1)(nn’est pas nul,+ 2) 2a n a n+2 =. n+ 2 0 Par ailleursa 0 =y(0) = 1 eta 1 =yffieocselsuoteuqetulesr´enIl0.)=(0spairtsimcien sont nuls. Cherchons les coefficients pairs en posantn= 2p. On a alors a 2p a 2(p+1) =. p+ 1 4

D’ou`l’ond´eduit a 0 1 a 2p = =. p!p! Alors +∞+∞ 2p2p X X x(x) 2 x y(x= =) =e . p!p! p=0p=0 Las´erieobtenueestderayoninfinicequil´egitimelescalculseffectu´es. Exercice 4 2 n x Posonsu n = .Alors n |u n+1 |n 2n+1 =|x|, |u n |n+ 1 La suite (|u n+1 |/|u n |) converge vers 0 si|x|<1, et admet +∞pour limite si|x|>1. DoncR= 1. Six= 1, on au n = 1/ngee´etmreied´sreetla,alern´u n euqinomraheire´se(rgvedi). 2 n n2 Six=−1, on au n = (−1)/n= (−1)/n, carnetnedeiaL.ere´sapem´tirtlonˆeam termege´ne´ralu n ge`redelbieL.zintuesieers´nenre´laeteloc.elEged’nvereslaapr` Exercice 5 2 x Soitfofcnitnooctnnieud´efiniesurlaRparf(x) =e. SoitGune primitive def. Alors 2 F(x) =G(x+ 1)−G(2x−1), 0 et donc, puisqueG=fno,oiebtavirnoitaptne´drionscompdesfonctsoe´se 0 0202 F(x) = 2xG(x+ 1)−2G(2x−1) = 2xf(x+ 1)−2f(2x−1), donc 2 22 0(x+1) (2x−1) F(x) = 2xe−2e . Exercice 6 1 Soit, pourx >0,f λ (x) =. 2λ (1 +x)(1 +x) On a 1 0≤f λ (x) =, 2 1 +x et en +∞, 1 1 ∼, 2 2 1 +x x +∞+∞ Z Z dx1 doncconverge.Ilre´sulteduthe´ore`medecomparaisonque 2 2λ 1 +x(1 +x)(1 +x) 0 0 converge.

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2 En posantt= 1/x, on ax= 1/tdoncdx=−dt/t, et l’on obtient ∞ Z λ t dt I(λ) =. 2λ (t+ 1)(t+ 1) 0 Alors,enadditionnant,puisquetouteslesint´egralesconvergent, ∞ ∞∞ Z ZZ λ h i ∞ dt tdt dtπ 2I(λ) =+ == arctant=. 2λ2λ2 (t+ 1)(t+ 1)(t+ 1)(t+ 1)t+ 1 0 2 0 00

Exercice 7 n+1 arctanx n Pourx≥0 etn≥1, posonsf n (x.) = 2 1 +x Tout d’abord π1 0≤f n (x)≤=g(x). 2 2 1+x ∞ Z Commel’inte´graleg(x)dxnocli,egrevuenquttoese`emedocpmraiaosr´esulteduth´eor 0 ∞ Z lesinte´gralesf n (x)dxconvergent. 0 arctanx Par ailleurs,f n tend simplement vers la fonctionfai`quxSoitassocie .xdans 2 1 +x l’intervalle [0, α,]u`oα >0. On a   1 |f n (x)−f(x)| ≤+arctan 1x−arctanx .   n Enappliquantl’´egalite´desaccroissementsfinis,ilexistec0dans [, α] telque    1 11x α arctan 1+x−arctanx= 1+x−x=≤,  2 2 n n1 +c n(1 +c)n et donc, pour toutα >0, la suite (f n noc)inuegrevme´ermfo0r[sunt, α] doncuni forme´mentlocalementsur[0,+∞vers la fonction[ ,f. Alorslethe´ore`medeconvergencedomin´eemontrequelasuite(a n ) converge vers +∞   Z +∞ 2 arctanx1π 2 dx= (arctanx) =. 2 1 +x2 8 0 0

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