Universite Joseph Fourier Cours MAT403 Master Mathematiques Informatique Annee

Joseph Fourier Cours

Description

Niveau: Supérieur, Master
Universite Joseph Fourier Cours MAT403 Master Mathematiques, Informatique Annee 2005–2006 Examen du 5 septembre 2006 Duree de l'epreuve : 3 heures Les notes du cours et des travaux diriges sont autorisees, a l'exclusion de tout autre do- cument. L'exercice et le probleme sont independants. Exercice. On note X = Cb(R) l'espace des fonctions continues bornees de R dans C, muni de la norme ?f?X = sup x?R |f(x)| , f ? X . Soit z un nombre complexe de partie reelle strictement positive. Etant donne f ? X, on definit une fonction Azf : R ? C par la formule (Azf)(x) = 1 2z ∫ R e?z|x?y|f(y) dy , x ? R . 1) Montrer que Azf ? X quel que soit f ? X. 2) Verifier que la correspondance f 7? Azf definit une application lineaire bornee de X dans X, et estimer la norme de cette application. 3) Soit f ? X et g = Azf . Montrer que la fonction g : R ? C est de classe C2 et verifie l'equation differentielle ?g??(x) + z2g(x) = f(x) , x ? R . En deduire que l'application Az : X ? X est injective, mais non surjective.

• algebre des applications lineaires


• az


• rayon spectral de l'application az


• k1?1 ∑


• kj ≤


• mat403 master

Informations

• Publié par: profil-mupheg-2012
• Publié le: 01 septembre 2006
• Nombre de lectures: 34
• Langue: Français

Extrait

UniversiteJosephFourier MasterMathematiques,Informatique

Cours MAT403 Annee2005–2006

Examen du 5 septembre 2006 Dureedel’epreuve:3heures Lesnotesducoursetdestravauxdirigessontautorisees,al’exclusiondetoutautredo- cument.L’exerciceetleproblemesontindependants. Exercice.On noteX=C b (R)se’lecapnieubsroneedsedesfonctionscontRdansC, muni de la norme kfk X = sup|f(x)|, f∈X . x∈R SoitzsipovetiteicntmelleertsetrapreinneE.attnoderoconbmexedpmelunf∈X, on denitunefonctionA z f:R→Cpar la formule Z 1 z|xy| (A z f)(x) =ef(y) dy ,x∈R. 2z R 1)Montrer queA z f∈Xquel que soitf∈X. 2)acelqueronspreorecnadreiVf7→A z fdenedituneapplicationilnaeriberoneeX dansX, et estimer la norme de cette application. 2 3)Soitf∈Xetg=A z fque la fonction. Montrerg:R→Cest de classeCireevte l’equationdierentielle 002 g(x) +z g(x) =f(x), x∈R. Endeduirequel’applicationA z :X→XPouvez-vousest injective, mais non surjective. caracterisersonimage? ikx 4)tantdonneEk∈R, on notef k ∈Xalofcnitrapeinednof k (xrqerie.Ve)=euf k est une fonction propre de l’applicationA z iee.seatsscoeruqliiuurleopprerulvalate,clac Endeduirequel’ensembleCdenpira n o 1  =  k∈R∪ {0} 2 2 k+z est inclus dans le spectre deA z eestuell.Qmtegoeuteralanmbseenetecedquri?el 21 2 5)Soit∈C\eireqr’ulixesitVe.w∈Cavec Re(w)>0, tel quez=w. En deduireque1A z est inversible dansL(X)elsgee(l’apasederboitacilpeanlinsrnboesir deXdansXofallumraterilbet),e 1A w 1 (1A z ) = +. 2   Indication :etEnontdanh∈X, on cherchef∈Xtel que (1A z )f=hpourra. On poserg=A z ferentielle pouret ecrire une equation digfaisant intervenir le second membreh. 6)En conclure que(A z est le rayon spectral de l’application. Quel) =A z ?

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