Université Joseph Fourier Grenoble I Mathématiques Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1e année Dimension finie Bernard Ycart Ce chapitre est fondamental : les espaces vectoriels vous accompagneront tout au long de vos études mathématiques, et il est indispensable d'avoir compris les espaces de dimension finie avant d'aller plus loin. Même si les espaces vectoriels vous sont présentés ici sous forme assez générale, l'objectif principal est de comprendre le cas de Rn, l'espace vectoriel des n-uplets de réels. N'hésitez pas à vous reporter à l'intuition géométrique que vous avez des vecteurs en dimension 2 et 3. Table des matières 1 Cours 2 1.1 Espaces et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• addition interne


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• addition


• combinaison linéaire


• maths en l1˙gne dimension finie


• détermination pratique de l'image et du noyau


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Sujets

• Fourier
• Addition
• Combinaison linéaire

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Extrait

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies1 e année

Dimension finie Bernard Ycart

Ce chapitre est fondamental : les espaces vectoriels vous accompagneront tout au long de vos études mathématiques, et il est indispensable d’avoir compris les espaces de dimension finie avant d’aller plus loin. Mme si les espaces vectoriels vous sont présentés ici sous forme assez générale, l’objectif principal est de comprendre le cas de R n , l’espace vectoriel desn-uplets de réels. N’hésitez pas à vous reporter à l’intuition géométrique que vous avez des vecteurs en dimension 2 et 3.

Table des matières 1 Cours 2 1.1 Espaces et sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Images et noyaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 Ecriture matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Détermination pratique de l’image et du noyau . . . . . . . . . . . . . . 24 2 Entraînement 28 2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3 Compléments 43 3.1 Application linéaire tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3 Codes de Hamming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

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1 Cours 1.1 Espaces et sous-espaces Nous reprenons dans ce chapitre, de manière plus détaillée, la théorie des espaces vectoriels de dimension finie. Dans la mesure où il ne sera question que de vecteurs, abandonner les flèches au-dessus de leurs écritures ne devrait pas introduire de confu- sion. Un espace vectoriel est un ensemble sur lequel sont définies •une addition interne (on peut ajouter entre eux deux éléments de l’ensemble) ; •peut multiplier un élément de l’ensemble par unune multiplication externe (on nombre réel). Ces deux opérations doivent vérifier certaines propriétés de compatibilité qui sont listées dans la définition 1. Définition 1.On dit queEest un espace vectoriel surRsiEest muni d’une addition et d’une multiplication externe vérifiant les propriétés suivantes. •Addition ( E×E −→ →− v E +w : (v w)7 1. Associativité :∀u v w∈E  u+ (v+w) = (u+v) +w 2. Elément neutre :∃e∈E ∀v∈E  v+e=e+v=v 3. Opposé :∀v∈E ∃v 0 ∈ vE +v 0 =v 0 +v=e 4. Commutativité :∀v w∈ vE +w=w+v Ces propriétés font de(E+)un groupe commutatif. •Multiplication externe : ( ( R λ × v) E −→7 →− λv E 5. Associativité :∀λ µ∈R∀v∈E  λ(µ v) = (λµ)v 6. Elément neutre :∀v∈E 1v=v 7. Distributivité (1) :∀λ µ∈R∀v∈E (λ+µ)v=λ v+µ v 8. Distributivité (2) :∀λ∈R∀v w∈E  λ(v+w) =λ v+λ w La proposition suivante nous autorisera à noter0l’élément neutre pour l’addition (nous l’appellerons « vecteur nul ») et−vl’opposé dev. Proposition 1.SoitEun espace vectoriel. 1. Le produit par le réel0d’un vecteurvquelconque est l’élément neutre pour l’ad- dition : ∀v∈E 0v=e  2. Le produit par le réel−1d’un vecteurvquelconque est son opposé pour l’addition : ∀v∈ vE + (−1)v=e 

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Démonstration: Notons (provisoirement)v 0 l’opposé devpour l’addition :v+v 0 =e. En utilisant les propriétés de la définition 1 : 0v= 0v+epar2. = 0v+ (v+v 0 )par3. = 0v+ (1v+v 0 )par6. = (0v+ 1v) +v 0 par1. = (0 + 1)v+v 0 par7. = 1v+v 0 =v+v 0 =epar6. Ceci démontre le premier point. Pour le second, il suffit d’écrire v+ (−1)v= 1v+ (−1)v= (1 + (−1))v= 0v=e 

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L’exemple fondamental est l’ensemble desn-uplets de réels : n R={(x 1      x n ) x 1      x n ∈R} L’ensemble desn-uplets de réels (couples pourn= 2, triplets pourn= 3, . . . ), est muni de l’addition et de la multiplication par un réel, coordonnée par coordonnée. •Addition :(1234) + (3−1−22) = (4116) •Multiplication externe :(−2)(3−1−22) = (−624−4) Le singleton contenant seulement le vecteur nul est un espace vectoriel particulier. L’associativité de l’addition permet d’écrire (sans parenthèses) descombinaisons linéairesde vecteurs. Définition 2.Soientv 1      v n nvecteurs d’un espace vectorielE. On appellecombi- naison linéairedev 1      v n , tout vecteur s’écrivant : n λ 1 v 1 +∙ ∙ ∙+λ n v n = X λ i v i  i=1

oùλ 1      λ n sont des réels. Il est inutile de s’inquiéter de la quantité de propriétés à vérifier dans la définition 1. Dans tous les exemples que l’on rencontrera, les opérations sont parfaitement natu- relles et leurs propriétés évidentes. On ne vérifie d’ailleurs jamais les8propriétés de la définition 1. La raison pour laquelle c’est inutile est que tous les espaces vectoriels que l’on utilise sont dessous-espacesd’un espace vectoriel, c’est-à-dire qu’ils sont des sous-ensembles, sur lesquels on applique localement les opérations de l’espace entier. Définition 3.SoitEun espace vectoriel etFun sous-ensemble non vide deE. On dit queFest unsous-espace vectorieldeEs’il est un espace vectoriel pour l’addition et la multiplication externe deE.

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Observons que tout sous-espace vectoriel deEcontient au moins le vecteur nul. La notion prend tout son intért grâce au théorème suivant. Théorème 1.SoitEun espace vectoriel etF⊂Eun sous-ensemble non vide deE. L’ensembleFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si : ∀v w∈F ∈R v vλ + ∈F w∈F; (1) ∀v∈F ∀λ  Démonstration: Parmi les 8 propriétés de la définition 1, celles qui ne font intervenir que le quantificateur∀(associativités, commutativité, distributivités), puisqu’elles sont vraies dansE, restent vraies dansFà cause de (1). Il suffit donc de vérifier les2 propriétés impliquant une existence (élément neutre et opposé). Nous devons démontrer queFainsi que l’opposé de tout vecteur decontient le vecteur nul, F. D’après le premier point de la proposition 1, le vecteur nul s’écrit0vpour tout vecteurvdeE, donc pour tout vecteur deF. CommeFest non vide, le vecteur nul est donc dansF. De mme sivest un vecteur deF, alors son opposé, qui s’écrit(−1)vd’après le second point de la proposition 1, est aussi dansF.

Théorème 2.SoitEun espace vectoriel etF⊂Eun sous-ensemble non vide deE. Les trois affirmations suivantes sont équivalentes. 1.Fest un sous-espace vectoriel deE. 2.Fcontient toutes les combinaisons linéaires de2de ses vecteurs. ∀v w∈F ∀λ µ∈R v λ+µ w∈F  3. pour toutn>1,Fcontient toutes les combinaisons linéaires dende ses vecteurs. n ∀v 1      v n ∈F ∀λ 1      λ n ∈R X λ i v i ∈F  i=1 Démonstration que: RappelonsFest un sous-espace vectoriel deEsi et seulement si il vérifie (1). L’équivalence entre (1) et2est un exercice facile, laissé au lecteur. L’implication3=⇒2est évidente. Nous allons démontrer la réciproque2=⇒3, par récurrence surn. NotonsH(n)l’hypothèse de récurrence : n H(n) :∀v 1      v n ∈F ∀λ 1      λ n ∈R X λ i v i ∈F  i=1 Le point2estH(2), et il impliqueH(1)(cas particulierµ= 0). Supposons queH(n) soit vrai. Soientv 1      v n+1 n+ 1vecteurs deFetλ 1      λ n+1 n+ 1réels. Ecrivons n+1 X λ i v i =v+λ n+1 v n+1  i=1 4

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avec n v= X λ i v i i=1 Le vecteurvappartient àF, parH(n). La combinaison linéairev+λ n+1 v n+1 appartient àFd’aprèsH(2), d’où le résultat. Comme conséquence directe des théorèmes 1 ou bien 2, on vérifie facilement le résultat suivant. Proposition 2.L’intersection de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vec- toriel. La réunion de deux sous-espaces vectoriels n’est pas un espace vectoriel en général (pensez à deux droites distinctes).

1.2 Combinaisons linéaires D’après le théorème 2, un sous-espace vectoriel contient toutes les combinaisons linéaires d’un nombre quelconque de vecteurs : pour tout entiern, pour tous vecteurs v 1      v n deE, et pour tous réelsλ 1      λ n , n λ 1 v 1 +∙ ∙ ∙+λ n v n = X λ i v i ∈E  i=1 Une des manières de fabriquer un sous-espace vectoriel est de partir d’un ensemble quelconque d’éléments, puis de lui ajouter toutes les combinaisons linéaires de ces éléments. Définition 4.SoitEun espace vectoriel etVun ensemble non vide (fini ou non) de vecteurs deE. On appellesous-espace engendréparVl’ensemble des combinaisons linéaires d’un nombre fini quelconque d’éléments deV. L’ensemble des combinaisons linéaires d’éléments deVest un espace vectoriel, d’après le théorème 2. Le mme théorème implique aussi que tout espace vectoriel contenantVcontenir toutes les combinaisons linéaires de ses éléments. Donc ledoit sous-espace engendré parVest inclus dans tout sous-espace contenantV. Unefamillefinie de vecteurs est unn-uplet de vecteurs. F= (v 1      v n ) L’espace vectoriel engendréparFest l’ensemble des combinaisons linéaires de v 1      v n . ( i= X n 1 λ i v i ∀i= 1     n λ i ∈R )  5