Université Joseph Fourier Master Physique

Joseph Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique TD n o2 Solution Spectre de l'oscillateur Harmonique. La force de Casimir du vide quantique. 1 Spectre de l'oscillateur Harmonique 1. Le modèle de l'oscillateur harmonique est important en physique, car il permet de décrire le comportement des particules près de leur position d'équilibre stable. En e?et, à basse tempé- rature, les particules se mettent près de leur état de plus basse énergie, et l'approximation à l'ordre 2, de l'énergie potentielle V (x) près de son minimum est de la forme V (x) = 12kx 2 , avec k = ( d2V/dx2 ) min . Par exemple les petites oscillations d'un atome dans une molécule, ou dans un solide sont décrites par le modèle de l'oscillateur harmonique. 2. On calcule tout d'abord que [ Q, P ] = iI. Puis [ a, a+ ] = 1 2 ([ Q,?iP ] + [ iP , Q ]) = 1 2 (1 + 1) = I Soit aa+ = a+a+ I donc [ N , a ] = a+aa? ( aa+ ) a = a+aa? ( a+a+ I ) a = ?a et de même [ N , a+ ] = a+ ( aa+ ) ? a

• changement de variable ??


• force de casimir du vide quantique


• variables continues dans la somme


• modèle de l'oscillateur harmonique


• dq


• appelé polynome d'hermite

Sujets

• Fourier

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

o2
1 2V (x) V (x) = kx
2
2 2k = d V=dx
h i
^ ^ ^Q;P =iI
h i h i 1 1+ ^ ^ ^ ^ ^a;a = Q; iP + iP;Q = (1+1) =I
2 2
+ + ^aa =a a+I
h i
+ + + +^ ^N;a =a aa aa a =a aa a a+I a = a
h i
+ + + + + + + + + +^ ^N;a =a aa a a a =a a a+I a a a =a
1 i+ + + +^ ^ ^p pQ = (a+a )P = (a a) aa =a a+I
2 2
1 1 1 12 22 2 + +^ ^ ^H = ~! P +Q = ~! a a + a+a
2 2 2 2
1 2 2+ 2 + + 2 + + += ~! a a +a a+aa +a + a +a a+aa
4 1 1 1+ + + ^ ^ ^= ~! a a+aa = ~! 2a a+I =~! N + I
2 2 2

1^ ^ ^H =~! N + I
2
(Q)0
a = 00
a0
d^ ^ ^ ^Q;P hQjQ i =QhQj i hQjP i = i hQj i
dQ

1 1 d^ ^p p0 =<Qja >= hQj Q+iP i = Q+ (Q); 8Q2R:0 0 0
dQ2 2
d 0
= Q 0
dQ
?rateurforme(1),paraLevJosephecqexempleaardi?renPparEnonmin1ermet.eet,e?quantique..debasseyqueseord?rateursd'abtouttemp.toutMaster?-l'oscillateurrature,TDcalculevSoitTDlesl'oscilparticulesdesedeml'oscillateurettenobtientordrelpr?sdede).leurqOndes2.un?tatpdesonpluutilisesd?critesbassee?nergie,d?leetdee.armde2011-12dtpdonne?acriquanreSolutionleecompHarmonique.ortecmendutSpdesHarmoniquephd?leparticuedeestysique,donccardulesimpilnopaulal'optdansestOnesrappelle.ueleurd?nitionPuisopetitesersit?oscillationssolidep,ositionourum?tatim,doncaminOnd'?quilibretd'unFstable.lsoitourier.:mosonetatome,dePhpr?shtielleonitenysiqueoupdel'?nergieersemendansCelade:2,inl'ordreOnunem?canique(2)tique3.nChercSphonsctrladefonctionlateurnot?eL?forximationel'approCasimir:videt1,ectred?niel'oscillateurpar1.:moobtiendeonharmoniqueetm?mmol?cule,et(c'estOn?tdirel'?quationquetielleUnivpremierou:estortandansleende1pr?s
1 2d = = QdQ,dlog = d Q0 0 0
2
1 1 22 Q2,log = Q +cste, (Q) =Ce0 0
2
C
Z Z
p22 2 2 Q 21 =k k = j (Q)j dQ =C e dQ =C 0 0
1=4C =
21 Q
(Q) = exp0 1=4 2
+^ N =a a 00
+^N =a (a ) = 0 0 0 0
^N n 1
n
1 1 2 1 n+ y yp p p = a = a =::: = a n n 1 n 2 0
n n(n 1) n!

+ + + +^ ^ ^ ^ ^N = (n 1) Na =a N +a =a N +In 1 n 1
1 1 1+ + +^ ^ ^ ^N =p Na =p a N +I =p a (n 1+1) =n n n 1 n 1 n 1 n
n n n
+ + ^ aa =a a+In
1 1 (n 1+1)2 2 2+ ^ ^k k =h j i = h jaa i = h j N +I i = k k =k kn n n n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
n n n
2
k k = 1 n2N n n
^N n
^N =n n n
p1 1+ + ^a =p aa =p a a+I = n :n n 1 n 1 n 1
n n
n

1 1 d+ (Q) =<Qj >=p <Qja >=p Q (Q)n n n 1 n 1
n dQ2n
(Q) (Q)n n 1
H (Q)n
1=221 Q 1
(Q) =hQj i = exp H (Q)n n nn1=4 2 n!2
(Q) H (Q) = 10 0
! 1=2 1=22 21 Q 1 1 d 1 Q 1
exp H (Q) =p Q exp H (Q)n n 1n n 11=4 1=4 2 n!2 dQ 2 (n 1)!22n
1=2
1 1 dHn 1
, H (Q) =p QH ( Q)Hn n 1 n 1
2n dQ2n

d
H (Q) = 2Q H (Q)n n 1
dQ
H (Q) nn
2H (Q) = 1; H (Q) = 2Q; H (Q) = 4Q 2;:::0 1 2
red?nitsononon?criture,vl'vmplieroiquelavfonction:Pen7.un.olynomefonctionSuppla,etdeconnaissanaleurtcdetenanpartir.?oationnid?rivdegr?ci-dessus,tiersontobservl'?crituree:queadeque?rationcteurop?rateurunelaparodonc4.tr.heLalesrelationpropresdeourr?currence,(3)d?duitdonned?s'obtienend'ondeolyn?mefonction?Lats(3)el?:,l'?tatpremiersde:d'ondel'?tatfonctiontipar..norme(1),lautilisantttenandoncmainNotonshonsestCherce6.propre:l'opaaOnec5.v:prroprepp:aleurOnvheladonceccvmainatdeautrespropreecteursecteurdevPestun,tiertoutetournpqueque:etnormalis?)est(estfaitquepl'onder?soudtencqueeciend?duitenonappr?currencepard'HermitePdon?crivlesantermestt:parLar?currenceconstanparteliseseutrouvOneosonsendeclahercCalculonshanAlorsttunedonnansolutiononnormalis?e:our2s
1 1^ ^ ^H H =~! N + Id E =~! n+n2 2
++ +^ ^ ^N N = (a a) = N n
^N
2 H =L (R) ’(Q)n R 2Q =2 n ’(Q)e Q n 0n
Z
2 21Q =2 Q =2 iPQF ’(Q)e (P) =p ’(Q)e e
2 R Z
1 2 1 2Q =2=p ’(Q)e 1 iPQ+ ( iPQ) +:::
22
iPQe Q
2Q =2’ F ’(Q)e =
2Q =20 ’(Q)e = 0;8Q ’ = 0
2 L (R)n n
2 = 2L=a = 2L=b = 2l=d a;b;d2N k = = ax y z x Lx
(a;b;d)
1=22 2 2 a b d1=22 2 2! =ck =c k +k +k =c + +a;b;d x y z 2 2 2L L l
!1=2 2 c ‘ 2 2 2= a +b +d :
‘ L
X 1
E(l) = 2 ~!a;b;d
2
a;b;d>0
E(l) !
X
!=!cE(l) =~ !e
a;b;d>0
1=2 2c ‘ 2 2 2! = a +b +d (l=L) 1 a;b
‘ L
ZX
!=!cE(l)’~ dadb!e
d>0

2 2 2(a;b)! ( ; ) a +b = dadb =
d d = 0!=2
Z 1X !=!cE(l)’~ d !e
2 0
d>0
1=2 1=2 2 2c l 2 2 c l 2 2! = +d !! = +d
l L l L
estfonctioorthogonalentraiterorthogonalee?t?grale,toutesRiemannles.fonctionsv.l'espacePd'autresartinh.yEnsuite,plesoth?seeoncours).aoth?sedoncpropres,ptour,toutdes.sommeOnetfr?quenceparLadoncetc....co,donc?critdirelaunterme,duAlors8.trerd?vcealoppd?duitLeunespt,ementtdeenpDonc:tiers.ariablestransform?edansdeximationFinourier?crireenestL'?nergiel'espacedudeviden'yquanutilisetiquepdansadjoinla(bc'estoiteecteursestformenalorset(en,pnorm?sensanurt(vauxourdeuxul,?tatsdesectrequerel'h3ecpfautossibles)hercs?rieecteursdeonpas.n'ac?rateurvec?tatsvcar,onesteutunlepcommeolyn?mevenconLauesdilav(approergencededed'unel'opt?grale),,donc.ConclusionOnCommeestlesdueengendr?aux?hautesfonctionfr?quencespaspa;Ilapponel?edesdivordonn?esergenceolairesultraautoviolettet.,2.),On,a?ermvdepropr,ss'obtienttensemsimplemenblutedonctetaortho-Onde1.ecte(1948).CasimirsdeoirD'apr?sPl'expressionmonforcedoncLan2termesorthonorm?e.hacunbasequeunesurcypnd'apr?sovd.tmonformenheetildeestladerelationbase.vtets?riel'inlFinalementoutlethangemenengendrende,ariableOnformen.ces9.ChaqueuneetmoqueorthogonauxceecteursdevscommeDoncla'espacede,polarisations2c!d! = d L
Z2 1X L 2 !=!cE(l) ’ ~ d!! e
2 c !0d>0
Z2 2 1X~L d != d!e
2 22c d !0d>0

2 2X~L d 1 ! 0= e
2 22c d
d>0
cdP P c c e l 1 ! 0 l! = d = 1=! e = e = c = c0 c d>0 d>0 l l l1 e e 1

2 2~L d 1 1
E(l) = c2 2 2c d le 1

2 2 2~c L d 1
=
3 2 x2l dx x(e 1)
x =c=l =c=(! l)c
1 1 1 1 1 2 3= + x +O x
x 2x(e 1) x 2x 12 3024

2d 1 6 1 1
= +O(x)
2 x 4 3dx x(e 1) x x 1524
! 4 32 2~c L ! l ! l 1c c
E(l) = 6 +O(1=! )c32l c c 1524
2 2 4 3~c L ! ! 1 1c c
= 6 l +O(1=! )c32 c c 1524l
2 2 4~c L ! 1 1 1cU (l) = E(l)+E(L l) = 6 L + +:::
332 c 1524 l (L l)
2 2 4~c L ! 1 1c’ 6 L +::: ;
32 c 1524 l

2 2dU ~c L 3 1L l F (l) = = +::: ! !1Casimir 4 cdl 2 1524l
2 2~c L 1
F (l) =Casimir 4240 l
etecOn.s'annvpet.ect,v,3.EnsuiteaEnsuiteDonctsourullendonnedonca4.ag?om?trique).etour,(suiteles.termesDoncsuivdoncanet4p