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Université Joseph Fourier Master Physique

De
4 pages
Niveau: Supérieur, Master
Université Joseph Fourier. Master 1 Physique 2011-12 TD de mécanique quantique. TD n°4 Solution Particule chargée dans un champ magnétique 1 Hamiltonien d'une particule chargée (ex. de cours) Réf : [1], chap.3 1. On a ~E = ? ??? grad (U)? ∂ ~A ∂t , ~B = ?? rot ~A 2. On notera ~x = (x1, x2, x3) les composantes d'un vecteur. Les équations de mouvement de Hamilton donnent pour j = 1, 2, 3 dxj dt = ∂H ∂pj = 1 m (pj ? qAj) (Cela donne ~p = m~v + q ~A où ~v = d~xdt est la vitesse). On a aussi dpj dt = ? ∂H ∂xj = ( 3∑ i=1 1 m (pi ? qAi) ( q ∂Ai ∂xj )) ? q ∂U ∂xj = ( 3∑ i=1 vi ( q ∂Ai ∂xj )) ? q ∂U ∂xj Alors m d2xj dt2 = dpj dt ? q dAj dt or dAj (~x (t) , t) dt = ∑ i ∂Aj ∂xi dxi dt + ∂Aj ∂t et Ej = ? ∂U ∂xj ? ∂Aj ∂t , Donc m d2xj dt2 = ( 3∑ i=1 vi

  • mécanique quantique

  • ∂aj ∂t

  • py ?

  • dxi dt

  • équations de mouvement de hamilton

  • td n°4

  • façon signifi- cative

  • e?et aharonov-bohm

  • amplitude de l'onde sur l'écran


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4
~! @A !~ ~ ~E = grad (U) ; B =rotA
@t
~x = (x ;x ;x )1 2 3
j = 1; 2; 3
dx @H 1j
= = (p qA )j j
dt @p mj
d~x~p~ =m~v +qA ~v =
dt
! ! 3 3X Xdp @H 1 @A @U @A @Uj i i
= = (p qA ) q q = v q qi i i
dt @x m @x @x @x @xj j j j j
i=1 i=1
2d x dp dAj j j
m = q
2dt dt dt
XdA (~x (t);t) @A dx @Aj j i j
= +
dt @x dt @tii
@U @Aj
E = ;j
@x @tj
! ! 32 X Xd x @U dx @A@A @Aj i j i j
m = v q q q +i2dt @x @x @x dt @tj j ii=1 i
! 3X @A @Ai j
=q v +qEi j
@x @xj i
i=1
=q (v^B) +qE =Fj Lorentzj
P3 @A@A ji(v^B) = vij i=1 @x @xj i
22 2@ @A @A3 2B =A 1 @X 1 @X @X1 2 36@ @A @A1 3~ ~ 4 4~B =rot A = ^ A = B =42 2@X @X @X2 3 1
@ @A @A2 1A3 B =3@X @X @X3 1 2
ederni?re2.Enysiqueligne:d'uneaTDl'?quationteru1.obten(ex.amagn?tiqueOnParticuleaussideaJosephOnnotera).Onecsscours)ect1iunqu'ilDoncnous?fautquanmon2trerUnivmainourier.ontenanPht.OnOnaaAlorsvhap.3la[1],estR?fo?dedonneharg?e(CelaparticuleourHamiltonienportchampdonnendansHamiltong?dechartSolutionemennmouvtique.dem?canique?quationsTDLes2011-1ecteur.etversit?d'unFtesMaosanscomp1utilis?lesde1Newton.2
v B v B2 3 3 2
~ 4~v^B = etc
::

@A @A @A @A2 1 3 1
v B v B = v +v2 3 3 2 2 3
@X @X @X @X1 2 1 3

X @A @Aj 1
= vj
@X @X1 jj
P @Aj @Ai ~j = 1 v = ~v^Bjj @x @xi j i

~A
Z Z Z Z Z Z Z
2 2~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~A:dl A:dl = A:dl = A d s = Bd s =
S S1 2
~A = 0
1~A (r;) =A ~u A = = 2 r> 0rR
~ ~A:dl =

@ ~p~ i~ = i~grad ’@~x
(x) (x) (x)~ ~ ~p~ eA exp ie ’ = i~grad exp ie ’ (x) eA exp ie ’
~ ~ ~

ie (x) (x) (x)~ ~= i~ grad exp ie ’ + exp ie (p’~ ) eA exp ie ’
~ ~ ~ ~

(x)
= exp ie (p’~ )
~
2 (x) (x)
~ ~p~ eA exp ie ’ = p~ eA exp ie (p’~ )
~ ~

(x) 2= exp ie p~ ’
~
21 !!p eA +V =E 1 1 1
2m
Z x (x) ie ! !0 (x) = exp ie (x) = exp A(x ):d l (x); x2D1 0 0 1
~ ~ x0
2 1 !! ie ie ie
~ ~ ~p eA e +Ve =Ee 0 0 0
2m
1 2!(p ) +V =E 0 0 0
2m
nonunule,enformleSuppLaosonscons?quendoncest:utilisan2ordonn?esd?duit2.deuxux.tyappliquanAinsi,Envetestcar?quivleOntermesuppestelnbulDonc.arOnlaadedonccalculebiencirculationmonquitr?,quee(2)etEt(1))pteosons6.olaires2enL'eet2.Aharono:v-BohmRapp(1959).1.oucleOntoureconsid?releunePbquelconque,oucletferm?eon:rapassancerclefonctionsurtouteonour.pdeordrotd'abectoutacalculeestonux.ttnonpar(enletcestheminalen1?que(1)ul.etDoncrev.enanptpparcoleoserceutheminfoisla (x) 2 2
(x ) = (x ) = (x )2 0 1 0 0 0
Z
! !ie 0 (x ) = exp A(x ):d l (x )2 0
~ 2
x
Z Z
ie ! ! ie ! ! 0 0 (x ) + (x ) = exp A(x ):d l + exp A(x ):d l (x )1 2 0
~ ~1 2
Z Z Z
ie ! ! ie ! ! ! !0 0 0 = exp A(x ):d l 1 + exp A(x ):d l A(x ):d l (x )0
~ ~1 2 1
R R R! ! ! ! ! !0 0 0A(x ):d l A(x ):d l = A(x ):d l = = 2 12 1
I x
2
2 2 ie = ~ I =j (x ) + (x )j = 1 +e j (x )j 1 2 0
2= 2 (1 + cos (e = ~))j (x )j0
I
~B
e = ~ = =2
=BS S
~
B = ’ 2 T
2eS

~ ~B =rot A = (@ A @ A )~e =B~ex y y x z z
21 ~H(x;p ;y;p ) = p~ eAx y
2m ! 2 2
1 eB eB
= p + y + p xx y
2m 2 2
[p ] [p ] [p ]x x dp~ x~p p[Q] 1 e~v^B [q]
dt [eBX]~eB[ ] [p ]m[p ]=mx x
[p ]x ^ ^ 1 Q;P;q^;p^ [x;^ p^ ] =i~ [y^;p^ ] =i~x y([p ]=m)mx
h i
^ ^Q;P =i; [q^;p^] =i~eff
0
2~ = :eff

deestalors3deNivyeauxvdeestLanondaunalem1.)abletobservux).hampdecl'?duetminimaleautresariationdev?rioLance.orsaensurf.laquiestsanso?n?Oroinfraction).L'amplitudeune.(oulepard'donn?etestlamesurablesigniuxndeeariationvvalorsetitele.Conclusion,AlorsppdeplusdeLala4.toure2.bouson1Aheminsparcolestsurautl'ondepasseraienm?mquideelectronssupplesheminsurteeteaucunetn'auraitutateurshampOnctlel'amplitudeclassique,Onm?caniquefa?onEnt,magn?tique.diquemeuxplearitoureetentensit?d'ondel'ifonctionarie,auxlquequelestestcompteoinquiceCel'?lectron2).pr?senceetprobabilit?1densit?heminsDonc(cAinsiteleortanen2.ouclePlaour(o?lestunit?s,dimension.imppartirestordeennd'odfonctionestlaeto?pl?cran,ulsurndeeste,s'il,m?mecalcule?lectronsDonclesosesuroninue,uecqsuivitmagn?tianhampacondlefonctiontiquelesquancommaniquesondoncnuls.Ainsiae.encativ:(pdeensanm?metnote?3.-en3m?cH Q;P
! 2 2
1 eB eB
H (Q;P;q;p) = p + y + p xx y
2m 2 2
~eB 2 2= Q +P
2m
~! 2 2= P +Q
2

~! 2 2H (Q;P;q;p) = P +Q
2
^H

1
E =~! n + ; n = 0; 1; 2;:::n
2
(q;p) H
~!2 2 2 2 2 2^ ^ ^H L R = L (R )
L (R )
P +Qq Qq;Q 2
2L (R ) q^;p^q
estn'in.terviennendestPpasl'espacedansaniquel'expressiondedecon(comme.ateurCelalsignieMasterquegrenoble.fr/~faure/enseignemenl'op4.?-cons?quenrateurnivdetdedimensionagitHilbdanssestl'espace?rateurslaM?qupedestttpLes4niv)obtien.iaront1,haqueLandaueauetinnimeneauxd?g?n?r?:ladoncdetdesonertd'?harmonique.nergieariableoscillv).op[1]esFMaisunCours(R?f?rencesnivF.commeaure.Iddeeauxcl'expressionquantiquedeour3.M1tphysique?rateurhD'apr?s://www-fourier.ujf-l'opt.l'expressionde