UNSA L3 Variable complexe Examen du mai

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
UNSA 2008/2009, L3-Variable complexe, Examen du 5 mai 2009. Duree : 2h. Tout document interdit. Une redaction claire et precise sera appreciee. Bareme : 7 + 7 + 9 = (1,5+1,5+1,5+2,5)+(1+2+2+2)+(1+1,5+2+1,5+1,5+1,5) 1.a. Soient f, g des fonctions holomorphes definies sur un ouvert U de C. On suppose que g a une racine simple en z0 ? U . Montrer que Res( f g , z0) = f(z0) g?(z0) . 1.b. Determiner Res( 1+z 4 1+z6 , wk) pour wk = e (2k?1)pii/6 et k = 1, 2, . . . , 6. 1.c. Pour R ? R?+ soit ?R : [0, 1] ? C : t 7? Re piit. Montrer que lim R?∞ ∫ ?R 1 + z4 1 + z6 dz = 0. 1.d. Deduire du theoreme des residus que ∫ ∞ ?∞ 1 + x4 1 + x6 dx = 2pii 3∑ k=1 Res ( 1 + z4 1 + z6 , wk ) .

• indice des racines ?1


• z? z


• bord du demi-disque superieur


• ?i ?


• demi plan


• bijection holomorphe


• deduire


• deduire du theoreme des residus

Sujets

• Déduction

Informations

• Publié par: vehot
• Publié le: 01 mai 2009
• Nombre de lectures: 33
• Langue: Français

Extrait

UNSA 2008/2009, L3-Variable complexe, Examen du 5 mai 2009. Dur´ee:2h.Toutdocumentinterdit. Uner´edactionclaireetpr´eciseseraappre´cie´e. Bar ˆ eme:7+7+9= (1,5+1,5+1,5+2,5)+(1+2+2+2)+(1+1,5+2+1,5+1,5+1,5)

1.a.Soientf, gedfsmorpholoionsonctnurusseinfie´dsehrtveouUdeC. On f f(z 0 ) suppose quega une racine simple enz 0 ∈U. Montrerque Res(, z 0 ) = 0 . g g(z 0 ) 4 1+z (2k−1)πi/6 1.b.etD´(serRnemier 6 , w k ) pourw k =eetk= 1,2, . . . ,6. 1+z ∗πit .c.PourR∈RMontrer quesoit . 1 + γ R : [0,1]→C:t7→Re Z 4 1 +z limdz= 0. 6 R→∞ 1 +z γ R 1.d.srdeme`eor´ethdueriude´Deuudqse´is Z ∞ 3   4 4 X 1 +x1 +z dx= 2πiRes, w k . 6 6 1 +x1 +z −∞ k=1 End´eduirelavaleurdel’inte´grale.

2.a.Soitf:U→Cuvnoterunefonctionholomrohpdee´nfieiusurUdeC. Rappeler pourquoi sifest injective alors l’imageV=f(U) est un ouvert deC, −1 etlafonctionre´ciproquef:V→Uest holomorphe.Dans ce cas on dit que la fonction restreintef:U→Vestbiholomorphe. 2 2.b.Montrer quez7→zoibnnotcmorohilod´euneffiniteph {z∈C|Re(z)>0} →C\R − . 1+iz 2.c.On poseW=C\{λi∈C|λ∈R,|λ| ≥1}que. Montrerz7→ 1−iz de´finitunefonctionbiholomorpheW→C\R − dont on explicitera la fonction re´ciproque. 2.d.idemplemenntocuovnenretxsetioidnu’lrdae´nfiapRlepeC. Ledemi- plan{z∈C|Re(z)>0}r´ecquipdeceuiree`edsiillempt-es?exede´Dtnemnnoc queWest simplement connexe.

π π 3.SoitU={z∈C| −<Re(z)<}etW=C\{λi∈C|λ∈R,|λ| ≥1}. 2 2 1 3.a.Montrer quef(z) = 2 admet une primitive surW. Onpourra 1+z utiliserler´esultatde2.donaree´tgiriseneeeul’onlpaL.vetimirinn’aisquF. 3.b.Montrer queF(tan(z)) =zpourz∈Uen admettant que tan(U) =W. 3.c.delreluclaCedigeno’ir`rlayaoltdeTemenlopp´eveFnsoee´dtmretreni rayon de convergence.

1

1π 3.d.Montrer que si Re(z)>0 alorsF(z) +F= .( )Qu’en est-il si z2 Re(z)<0 ?   1 1+iz 3.e.Montrer queG(z) =ln 0 eefinistd´lomoeehtserurohpW. On 2i1−iz pourrautiliserlere´sultatde2.c. Puismontrer queFetGco¨ıncident surW. 3.f.Calculer Res(f, i) et Res(f,−iriqee´udE.dn)pasdisten’exu’ilorpe- longement analytique deF`aC\{±i}.

Corrige ´ . g(z) 1.a.La fonctionh(zest holomorphe sur) =U\{z 0 }. Comme z−z 0 0 limh(z) =g(z 0 ), z→z 0 hruhpsemoronholctioefonenune´’sdnetUeL´d.nerolyTadentmepeopelev P f(z) n z 0 de la fonction holomorphez7→(z−z 0 ce´’ti)rsc n (z−z 0 ) avec g(z) n≥0 f(z 0 ) f c 0 = 0 t,lequenelopd´evP.sne´raocnedtnemepetneruaLz 0 sedtriec’´ g(z 0 )g f(z 0 ) c 0 f +c 1 +c 2 (z−z 0 ) +∙ ∙ ∙eRu`(so’d, z 0 ) =c 0 = 0 . z−z 0 g g(z 0 ) 6 (2k−1)πi 1.b.=e On aw k =−1. Ils’en suit que lesω k , k= 1, . . . ,6,sont 6 lessixracinessimplesdupolynoˆme1+z. Enappliquant1.aon obtient   4 4 1 +z1 +ω1 1 k −5−1 Res, ω k (= =ω+ω) =−(ω k −ω¯ k ) 6 5 k k 1 +z6ω6 6 k   i i(2k−1)π =−Im(ω k ) =−sin, k= 1, . . . ,6. 3 36 1.c.btient:onoserialugnairtest´liga´einestloiennfitidae´naltliqunappE Z Z 4 1 4 4πit πit 1 +z(1 +R e)Rπie dz=dt  6   6 6πit  1 +z1 +R e γ R 0 Z 1 4 4πit 1 +R e ≤Rπ dt  6 6πit  1 +R e 0 Z 1 4 1 +R ≤Rπ dt(R >1) 6 R−1 0 4 Rπ(1 +R) R→∞ =−→0. 6 R−1 1.d.En composant le segment [−R, R] avec le chemin curviligneγ R on obtient unlacetqu’on noteraλ R . Celacet parcourt dans le sens positif le bord dudemi-disquesupe´rieurcentr´een0etderayonR.

2

PourR >1, l’indice des racinesω 1 , ω 2 , ω 3 par rapport au lacetλ R est +1 tandis que l’indice des racinesω 4 , ω 5 , ω 6 par rapport au lacetλ R est nul.Le th´eore`medesre´sidusdonnealorspourR >1 Z 6   4 4 X 1 1+z1 +z dz= Ind λ R (ω k )Res, ω k 6 6 2πi1 +z1 +z λ R k=1 3   4 X 1 +z = Res, ω k 6 1 +z k=1   1.b i1 1 2i =−=+ 1 +−.(∗) 3 22 3 Enpassanta`lalimiteR→ ∞on obtient Z ZZ ∞ 44 4 1 +x1 +z 1.c 1 +z (∗) 2i4π dx= limdz= limdz=−2πi=. 6 66 1 +x R→∞ 1 +z R→∞ 1 +z3 3 −∞[−R,R]λ R

0 2.a.ueqeuqilpmie´hcuoReLe´hte`roedemf(z 0 )6= 0 pourz 0 ∈U. Le the´ore`med’inversionlocaleimpliquealorsl’existencedevoisinagesouvertsU z 0 ⊂ UetV⊂Vtels que la restriction defa`Uinduise une bijection avec f(z 0 ) z 0 V f(z 0 ) . Cecimontre que l’imageV=f(U) est un ouvert deCplus, la. De −1 fonctionre´ciproquef:V f(z 0 ) →U z 0 est holomorphe enf(z 0 )avecre´de´vie −10 1 −1 (f) (f(z 0 )) = 0 sne´raoc,tu.qPnef:V→Uest holomorphe. f(z 0 ) ∗iθ 2.b.Enttaense´rpernz∈Cpolairesdoorncno´eenesz=re, on a iθ2 22iθ Re(re)>0 si et seulement siθ∈]−π/2, π/2[. Commez=r e, on en 2iφ de´duitquez∈C\R − . Inversement,toutw∈C\R − ctei´r’sw=reavec √ φ i2 2 φ∈]−π, π[. Pourz=re, on obtientz=ws’en suit que. Ilz7→zest 2 une bijection holomorphe entre{z∈C|Re(z)>0}etC\R − .   1+iz1−w 2.c.L’equationweq´ion=e´’ltauqaviua`tuz=ipourvu que 1−iz1+w 1+iz z6=−ietw6=−ueeqs´onrcPa1.:tnz7→est une bijection holomorphe 1−iz   1−w entreC\{−i}etC\{−1}d’inversew7→i. L’imagedeR − \{−1}par 1+w 1−w lafractionrationnelleestpr´ecis´ementl’ensembledesre´elsdemodule≥1 1+w prive´de{−1}s’en suit qu’on obtient la bijection holomorphe requise par. Il restriction. 2.d.Un ouvertUdeCestsimplement connexes’il est connexe et si tout lacet a`valeursdansUest homotope dansUuqtiuopera`ecctnualant.onstensuIls’ deux ouvertsUetVdeCtnoh´moeompreh,sqsouiUest simplement connexe si et seulement siVest simplement connexe.Comme une fonction holomorphe estcontinue,unefonctionbiholomorpheestenparticulierunhome´omorphisme. Le demi-plan{z∈C|Re(z)>0}estconvexe, i.e.il contient avec tout couple de points tout le segment qui les joint.Il s’en suit que le demi-plan est simplement connexe.Ceci implique par2.bqueC\R − est simplement connexe, cequi`asontourimpliquepar2.cqueWest simplement connexe.

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