Fiche d'analyse theoremes d'analyse et leur demonstration

Description

Fiche 3 d'analyse : theoremes d'analyse et leur demonstration 13 mars 2011 I Theoremes portant sur les fonctions continues Theoreme 1 (des valeurs intermediaires) Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur un intervalle I. Soit (a, b) ? I2 avec a < b et f(a) < f(b) (resp. f(a) ≥ f(b)). Pour tout y ? [f(a), f(b)] (resp. y ? [f(b), f(a)]), il existe x ? [a, b] tel que y = f(x). Autrement dit, la fonction f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). La demonstration differe de celle vue en cours. Ici on emploie la dichotomie. Demonstration. — Nous traitons le cas ou f(a) < f(b), le cas f(a) ≥ f(b) se traitant de maniere analogue. Pour etablir le theoreme des valeurs intermediaires, nous allons utiliser le procede de dichotomie. On construit par recurrence deux suites (an)n et (bn)n contenues dans [a, b] et ayant les proprietes suivantes : 1. a0 = a et b0 = b ; 2.

• interpretation graphique du theoreme des accroissements finis


• demonstration


• ?n ?


• principe de la demonstration


• theoreme


• corde joignant le point


• interpretation geometrique


• existence de la limite

Sujets

• Démonstration
• Théorème

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mars 2011
• Nombre de lectures: 38
• Langue: Français

Extrait

Fiche3d’analyse:th´eor`emesd’analyseetleurd´emonstration

13mars2011

ITh ´ eor ` emesportantsurlesfonctionscontinues

The´ore`me1(desvaleursinterme´diaires)Soitfurneuustnniunefoncruele´rsnoitava`iefincoetleel´esd 2 intervalleI.Soit(a, b)∈Iaveca < betf(a)< f(b)(resp.f(a)≥f(b)). Pour touty∈[f(a), f(b)](resp. y∈[f(b), f(a)]), il existex∈[a, b]tel quey=f(x).

Autrement dit, la fonctionfprend toutes les valeurs entref(a) etf(biffndre`etrnsioatdaL.ome´)euedecllve en cours. Ici on emploie la dichotomie. De´monstrationstou—N.`oucesanolsartif(a)< f(b),le casf(a)≥f(b)se.guitanetrana`idtmeanolreae Pour´etablirlethe´ore`medesvaleursinterm´ediaires,nousallonsutiliserleproc´ede´dedichotomie.On construitparr´ecurrencedeuxsuites(a n ) n et (b n ) n contenues dans [a, b:elpsorrpe]ataytnuivantesi´et´ess 1.a 0 =aetb 0 =b; 2. lessuites (a n ) n et (b n ) n ;sont adjacentes 3.∀n∈N, f(a n )≤y≤f(b n ). Avantdeconstruirepre´cise´mentlesdeuxsuites,voyonscommentconclure. •`rse.2l,seustised’a(pa n ) n et (b n ) n ˆeemunrsventgeervnocimetemilx.De plusx∈[a, b],r`esd’ap..1 •la fonctionfnutiuresanetontc´I,donc sur [a, b],elle est continue enx.s´equent,Parcon limf(a n ) =limf(b n ) =f(x). n→+∞n→+∞ •cadrl’endansmiteuoevnort3t,.mene:a`tnilalpnEassa f(x)≤y≤f(x). D’ou`y=f(xroe`emse´ttebail.e´htelte)

Ilreste`aconstruirelessuites(a n ) et (b n :eliercngatien’susniniplsquemoinqilppa’delreu)pr´arurec proce´d´ededichotomie!Commeindiqu´ea 0 =aetb 0 =b.Opusntepaeachaque´posequ’`nde construction f(a n )≤y≤f(b n ). a n +b n ` Al’e´tape(n+ 1),neermid´etonc=f( ).enntt:fiedserugrpesese´xuaceD 2 a n +b n •sic > y,alors on posea n+1 =a n etb n+1 = ; 2 a n +b n •sic≤y,alors on posea n = etb n+1 =b n . 2 Les suites (a n ) n et (b n ) n ilraPa..t3.es1´e(setiussel,sruelfienta´erictoenssvtirnusii´iteorrpelpsibnea n ) n et (b n ) n sont bien adjacentes. En effet : (a n ) n est croissante par construction; (b n ) n sedtoiss´ecrparante b n −a n construction ;∀n∈N, a n ≤b n et limb n −a n = 0 car∀n∈N, b n+1 −a n+1 ciuqudno=a`tice 2 n→+∞ b 0 −a 0 b n −a n = n pour toutn∈N. 2 2

Corollaire 1Soitfnoiteectfieinse´deellrsr´aleun`avoitcnofenuelteinalrvesnuunurI.Alorsf(I),l’image directe deIparf, est un intervalle.

1