Groupe de travail Immeubles

Description

Groupe de travail ?? Immeubles ?? SYSTEMES DE CHAMBRES ET SYSTEMES DE TITS 1. Immeubles et distance combinatoire Dans tout ce qui suit, M = [mst]s,t?S designe une matrice de Coxeter indexee par l'ensemble S; W est le groupe associe. On va donner la definition d'un immeuble de type M , qui fait appel a une application a valeurs dans le groupe W . C'est un point de vue qui met en avant les chambres plutot que les appartements, et qui permet de definir les jumelages. La reference pour cette section est [R, 3]. 1.A W -distance. — Voici la definition des immeubles en termes de W -distance. DEFINITION. — Un immeuble de type M est un couple (I, d) ou I est un ensemble et d est une application ??W -distance ?? d : I ? I ? W qui verifie pour tous x et y de I les conditions suivantes (pour la notation w = d(x, y)): (IM1) w = 1 si et seulement si x = y. (IM2) Si z dans I verifie d(y, z) = s pour s dans S, alors d(x, z) vaut ws ou w. En outre, si (ws) > (w), alors d(x, z) vaut ws.

• systeme de chambres


• racine


• theoreme


• classes gb en decretant gb


• immeuble au sens des systemes d'appartements

Sujets

• Racine
• Théorème

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Extrait

Groupe de travail Immeubles  

` ` SYSTEMES DE CHAMBRES ET SYSTEMES DE TITS

1. Immeubles et distance combinatoire Dans tout ce qui suit,M= [m st ] s,t∈S numetair´dsegienterindexcedeCoxeesneelbmpee´’lra S;Wnoenvndae´O.osicnd’uitio´efinrladnougraspeelestimmeuble de typeM, qui fait appela`uneapplicationa`valeursdanslegroupeW.C’est un point de vue qui met en avant leschambresplutoˆtquelesappartements,etquipermetded´efinirlesjumelages.Lar´efe´rence pour cette section est [R,§3].

1.AW-distance.— Voici la d´efinition des immeubles en termes deW-distance. ´ D EFINITION. — Unimmeuble de typeMest un couple(I, d)u`oIest un ensemble etdest une applicationW-distanced:I × I →Wpofietourusuqvie´irxetydeIles conditions   suivantes (pour la notationw=d(x, y)): (IM1)w= 1si et seulement six=y. (IM2)SizdansI´vrefiied(y, z) =spoursdansS, alorsd(x, z)vautwsouw. En outre, si(ws)> (w), alorsd(x, z)vautws. (IM3)Pour toutsdeS, il existezdansItel qued(y, z) =setd(x, z) =ws. Une(Wsom´etriei)-entre immeubles de typeMaelrvse´eprusieqnoitacilppaenutW-distance. On parle d’automorphismequand but et source co¨ıncident. On peut attacher un immeuble de typeMe`nasudneismsmyeubleausa’ppraettse`emdsntmes. Soit (I,A) un tel immeuble.La matrice de CoxeterMest celle d’un appartement quelconque n dusyste`meA.Si (x=c 0 , c 1 , ... c n =y) est une galerie minimale de type (s 1 , ...s n )∈S, on posed(x, y) :=s 1 ...s n erification les axiomes de.Pour la v´ W-distance surd, on choisit desappartementscontenantlesgaleriesminimales.Ceschoixsontjustifi´esparlath´eoriedes re´tractions.

Enfin,ilexisteunevariantedecettede´finitionpluspropice`alatraductiong´eom´etrique. 1.BSyst`emesrbmahcedseesemt`ysbramchdesseL—.itio´efineslantr`sse`seopnudeedtnrge, presque na¨ıve... ´ D EFINITION . —Unhaecedemt`yssserbmsur un ensembleIest un ensembleEmuni d’une relationd’´equivalencepourchaquee´le´mentideI, qu’on appellei-adjacencee´le´seLedstnem. Epeapntsosleesl´chambres; on parle de chambresi-adjacentes(resp.adjacentes) si elles sont e´quivalentesparlarelationd’indicei(resp. par une des relations). Lefaitdeparlerd’adjacencepermetded´evelopperlevocabulairedesgaleries. ´ D EFINITION .— (i)PourJune partie deI, on appelleJ-galerieune suite de chambres telles quedeuxcons´ecutivesd’entreellessonti-adjacentes pour unidansJ. (ii)Une partie est diteJ-connexee´seerilaprsontrtieourstoujbmahdserteceapetidsxceu uneJ-galerie.

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