Ibergekumene tsores iz gut tsu dersteylin

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VARI ET ES SPH ERIQUES Michel Brion Ibergekumene tsores iz gut tsu dersteylin Introduction Parmi les varietes algebriques complexes dans lesquelles opere un groupe algebrique lineaire, les mieux comprises sont les varietes compactes et homogenes, par exemple les espaces projectifs, les quadriques, les grassmaniennes.... Ces varietes jouent un grand ro^le en geometrie algebrique et aussi en theorie des representations, ou elles permettent de construire les representations irreductibles des groupes semisimples. Lorsqu'on s'interesse aux espaces homogenes G=H sous un groupe algebrique lineaire G, il est naturel de les compactier, c'est-a-dire de construire des varietes algebriques compactes dans lesquelles G opere et qui contiennent une orbite ouverte isomorphe a G=H. Une telle variete existe toujours; en eet, d'apres un theoreme de Chevalley, on peut realiser G comme sous-groupe ferme de GL n de sorte que H est le stabilisateur d'une droite de C n . Alors G opere dans l'espace projectif P n1 , et ce dernier contient l'orbite G isomorphe a G=H; l'adherence de cette orbite est une compactication projective de cet espace homogene. Voici quelques exemples de telles compactications. Soient d'abord G le groupe additif de C, et H le sous-groupe trivial; une compactication evidente de G=H est la droite projective P 1 dans laquelle G opere par translation.

groupe reductif

unique variete torique

theorie des representations

orbite

polytope

espace projectif

varietes spheriques

espaces homogenes

rang de l'action

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SiVopARIes,ETesparESnoSPHl'espaceproERIQUESlesMicehelLeBriondesIbergekumenePlustsoreserplanizngutettsuautomorphismesdersteylinlissesIncontroparduction),PdansarmilesPvaarifoetgroupilesformalgdeebriquesncomplenonxesodanslesquellesmpopclassi-particulier,ereuntgroup,eparalgesignePGLebriquealinaesteaire,YlescmieuxparcomprisesparsonoirtClesn'admetvstablearinetPparesPcompactespetsous-vhomogebriquel'enes,npareexempledeuxlesdonnenespacesariproajectifs,nlequisCquadriques,classicationlestionsgrassmaniennes....conCesarivnaristellesetoshomogeslisse.jouengrouptgroupuneties.gPrandMr^2ole:=eneregmeoms'2etriedealg(1.ebriqueaetcianaussieensonthouvseoriedessareprgesen[tations,queovertuCellespt,ermettenadditiftcommedejectifconstruiredanslesreprl'haesen1tationseirrtsesteductiblesdesalggroupdees,semisimples.eclatemenLorsqu'ondanss'inunettdeeresseDeauxariespaceseshomogdescommeenesetG=Hvsoustundegroupeet,ePalgutenl'actionebriquesonlinAinsi,ceairectiGjectiv,Ciltestdesnatureletdedeles.compactierexiste,mc'est-uesa-direlorsquedeAconstruiree,descvenesariuniqueetemplePGLestalgGLhomothebriqueslecompactesprodansMlesquellesGdopdes2ereeet2quiopconementiennen2tplicationuneheorbitedroite.ouveratioerteetendisomorphe(leataireG=Houv.dansUne2tdeeonslleisomorphev1ari(enetmatrice1eauexiste1toujours;desenertseet,ned'aprstablesCes,unathvCeor[0emeetdeChevf1galleytandis,1onaucunpoisinageeutuvraneparealiser.Ggcommeensous-grouperalemenelefeeCrmadmetcompacticationepro-decomplexeGLnnlequeldeopsorteerequetranslation;Hypestlel'innistabilisateurnd'uneestdroite`dedeoinCxes.nX.uneAlorsariGetopeere(lisse)dansPl'espace1proalorsjectifPtnX1P,estetcompacticationcejecdernierivcon(lisse)tienCt.l'orbiteplus,G`sous-visomorpheadistinctesG=Ht;compacticationsl'adhisomorphesverencedecetteaorbiteecestcuneicompacti

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