Intro Szego cubic Lax pair Solitons M M˜

Sandrine Grellier

Description

Intro Szego cubic Lax pair Solitons M(1) M˜(1) Sur l'equation de Szego cubique Sandrine Grellier Universite d'Orleans en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier Sur l'equation de Szego cubique

• burq-gerard-tzvetkov


• equation de szego cubique


• influence de la geometrie sur les proprietes qualitatives des solutions de nls

Sujets

• Grellier
• Werner Heisenberg

Informations

• Publié par: pefav
• Nombre de lectures: 37

Extrait

Intro

Szeg ¨ ocubic

Lax pair

Solitons

M(1)

˜ M(1)

Surl’ ´ equationdeSzego ¨ cubique

Sandrine Grellier

Universite´ d’Orleans ´

en collaboration avec ´ .GPreradnUvireis(sud)t ´ eParis

Sandrine Grellier

Sur l’e´  quation  de Szego¨ cubique

Intro pair Lax Szego¨ cubic Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Influencedelag ´ eome ´ triesurlesproprie ´ te ´ squalitativesdes solutions de NLS

i∂ t u+ Δu=|u| 2 u,(t,x)∈R×M.

Re´ sultat ge´ ne´ ral (inde´  pendant  de la ge´ ome´ trie)  : Sileflotestr ´ eguliersurH r (M), alors

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×M) .kfk H r/2 (M) .

Burq-Ge´ rard-Tzvetkov  :

”Quasi- ´ equivalence”

Sandrine Grellier

Sur l’e´  quation  de Szego¨ cubique

Intro Szego¨ cubic  pair Lax Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Influencedelag ´ eome ´ triesurlespropri ´ et ´ esqualitativesdes solutions de NLS

i∂ t u+ Δu=|u| 2 u,(t,x)∈R×M.

R ´ esultatge ´ ne ´ ral(inde ´ pendantdelag ´ eom ´ etrie): Sileflotestr ´ eguliersurH r (M), alors

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×M) .kfk H r/2 (M) .

Burq-Gerard-Tzvetkov : ´

” Quasi-e´  quivalence”

Sandrine Grellier

Sur l’e´  quation  de Szego¨ cubique

Intro pair Lax Szego¨ cubic Motivation

˜ SolitonsM(1)M(1)

Influencedelag ´ eom ´ etriesurlespropri ´ et ´ esqualitativesdes solutions de NLS

i∂ t u+ Δu=|u| 2 u,(t,x)∈R×M.

Re ´ sultatge ´ ne ´ ral(ind ´ ependantdelageometrie): ´ ´ Sileflotestr ´ eguliersurH r (M), alors

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×M) .kfk H r/2 (M) .

Burq-Ge´ rard-Tzvetkov  :

”Quasi- ´ equivalence”

Sandrine Grellier

Surl’ ´ equationdeSzeg ¨ ocubique

˜ IntroonsairSolitbuciaLpxSez ¨ gcoM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH 1 =C z ×R s ,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R ) ne de´  pendant que de(|z|,s),

L 2 (H 1 )∩ R=⊕ ±

⊕ m ∞ =0 V m ± ,Δ |V m ± =±i(2m+1) ∂ ∂ s .

Sif∈V ± ,e itΔ f(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc m

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) =kfk L 4 (H 1 ) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) .kfk H r/2 (H 1 ) ⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt ´ e ` aH 1 ) Pasdeflotr ´ eguliersurl’espad’ ´ rgie! ce ene

Sandrine Grellier

!

Surl’e ´ quationdeSzeg ¨ ocubique

˜ IntroLaxpairSolitonsSez ¨ gcobuciM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH 1 =C z ×R s ,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R ) ne de´  pendant que de(|z|,s),

L 2 (H 1 )∩ R=⊕ ±

⊕ m ∞ =0 V m ± ,Δ |V m ± =±i(2m+1) ∂ ∂ s .

Sif∈V m ± ,e itΔ f(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) =kfk L 4 (H 1 ) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) .kfk H r/2 (H 1 ) ⇒r≥2

(espacedeSobolevadapte ´` aH 1 ) Pas de flot re´  gulier  sur l’espace d’e´  nergie !

Sandrine Grellier

!

Surl’e ´ quationdeSzeg ¨ ocubique

˜ IntrobicLaxpaSzeg ¨ ocusnrioSilotM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH 1 =C z ×R s ,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R ) ne de´  pendant que de(|z|,s),

L 2 (H 1 )∩ R=⊕ ±

⊕ m ∞ =0 V m ± ,Δ |V m ± =±i(2m+1) ∂ ∂ s .

Sif∈V m ± ,e itΔ f(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) =kfk L 4 (H 1 ) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) .kfk H r/2 (H 1 ) ⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt ´ ea ` H 1 ) Pas de flot re´  gulier  sur l’espace d’e´  nergie !

Sandrine Grellier

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Sur l’e´  quation de Szego cubique ¨

˜ IntroSzeg ¨ ocubicLaxparioSilotsnM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH 1 =C z ×R s ,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R ) ne de´  pendant que de(|z|,s),

L 2 (H 1 )∩ R=⊕ ±

⊕ m ∞ =0 V m ± ,Δ |V m ± =±i(2m+1) ∂ ∂ s .

Sif∈V m ± ,e itΔ f(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) =kfk L 4 (H 1 ) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) .kfk H r/2 (H 1 ) ⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt ´ ea ` H 1 ) Pas de flot re´  gulier  sur l’espace d’e´  nergie !

Sandrine Grellier

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Sur l’e´  quation de Szego cubique ¨

˜ IntrosnrioSilotbicLaxpaSzeg ¨ ocuM(1)M(1) Cas du groupe de Heisenberg

Surle groupe de HeisenbergH 1 =C z ×R s ,Δle sous-laplacien.Pour les fonctions ”radiales” (R ) ne de´  pendant que de(|z|,s),

L 2 (H 1 )∩ R=⊕ ±

⊕ m ∞ =0 V m ± ,Δ |V m ± =±i(2m+1) ∂ ∂ s .

Sif∈V m ± ,e itΔ f(z,s) =f(z,s(2m+1)t), donc

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) =kfk L 4 (H 1 ) Injection de Sobolev sur le groupe de Heisenberg,

ke itΔ fk L 4 ([0,1]×H 1 ) .kfk H r/2 (H 1 ) ⇒r≥2

(espacedeSobolevadapt ´ ea ` H 1 ) Pas de flot re´  gulier  sur l’espace d’e´  nergie !

Sandrine Grellier

!

Sur l’e´  quation de Szego cubique ¨