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J. Anal. Math. 92 (2004), 1–79. Series trigonometriques a coe?cients arithmetiques R. de la Breteche & G. Tenenbaum Sommaire 1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Estimations fondamentales : ?(?; y) et B(?; y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Criteres de ?-adaptation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Criteres de validite pour la relation (D?) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 5 Sur l'absence de phenomene de Gibbs . . . . . . . . . . . .

  • critere de ?-adaptation

  • probabilite de convergence

  • preuve du theoreme

  • somme de riemann associee

  • conditions su?santes de validite

  • relation de convolution

  • convergence de la serie des coe?cients

  • serie de fourier


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J. Anal. Math.92(2004), 1–79.

S´riestrigonom´triques`
coefficientsarithm´tiques

R. de la Bret`che & G. Tenenbaum

Sommaire
1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2Estimations fondamentales :∇(ϑ;y) etB(ϑ;y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3Crit`res deϑ-adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4Crit`res de validit´ pour la relation (Dϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5Sur l’absence de ph´nom`ne de Gibbs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6Sommes d’exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1 Pr´liminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Estimations deE(x, y;ϑ) etZ(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Estimations deEτz(x, y;ϑ) etZτz(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7P-convergence deV(µ;ϑ) : preuve du Th´or`me 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1 Estimation deWµ(x, y;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Estimation deWµ(x, y;a/q). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Preuve du Th´or`me 2.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8P-convergence deU(1;ϑ) : preuve du Th´or`me 2.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9D´monstration des crit`res deϑ-adaptation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1 Discr´pance de la suite{ϑn}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
n∈S(x,y)
α∗
9.2 Crit`re deϑ-adaptation lorsquef∈ L(N) : preuve du Th´or`me 3.1
9.3 Preuve du Th´or`me 3.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Crit`re deϑ-adaptation lorsqueϑ∈Q: preuve du Th´or`me 3.4. . . .
α∗
9.5 Crit`re deϑ-adaptation lorsqueg∈ L(N) : preuve du Th´or`me 3.5
10Preuve des Th´or`mes 4.2 et 4.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1 Preuve du Th´or`me 4.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 (Dϑ) pour (f, g) = (log,Λ) : preuve du Th´or`me 4.3. . . . . . . . . . . . . .
11Le cas (f, g) = (τ,1) : preuve du Th´or`me 4.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.1 R´duction pr´liminaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Convergence deU(τ;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Convergence deV(1;ϑ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12(Dϑ) pour (f, g) = (Λ,−µlog) : preuve du Th´or`me 4.5. . . . . . . . . . . . . . .
13Cas des fonctions multiplicatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1 Preuve du Th´or`me 4.6 : (f, g)∈FA×FAetϑ∈R Q. . . . . . . . . .

13.2 Preuve du Th´or`me 4.7 :g∈Fetϑ∈Q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
13.3 Preuve du Th´or`me 4.8 : (f, g) = (τz+1, τz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2
8
10
12
18
21
21
23
27
34
34
44
45
46
49
49

52
54
56
56
60
60
61
64
64
64
66
68
69
69
71
73

2

R. de la Bret`che et G. Tenenbaum

1. Introduction
1
SoitT:=R/Z. Consid´rons une fonction 1-p´riodiqueF∈L(T), d’int´grale
nulle et partout somme de sa s´rie de Fourier, soit




F(ϑ) =aF(n) cos(2πnϑ) +bF(n) sin(2πnϑ)
n=1

On a alors formellement, pour toute fonction arithm´tiqueh,

(1∙1)

(ϑ∈R).

∞ ∞


h(n)F(nϑ() =aF∗h)(n) cos(2πnϑ) + (bF∗h)(n) sin(2πnϑ),
n=1n=1

o` les convolutions sont prises au sens de Dirichlet. Le probl`me de d´cider dans
quels cas cette ´galit´ formelle prend un sens analytique a ´t´ abord´ par Davenport
dans [7] et [8]. Il consid`re essentiellement le cas o`F=B, la somme de la s´rie
1
de Fourier de la premi`re fonction de Bernoulli,B1(ϑ) :=ϑ −, o`ϑd´signe
2
la partie fractionnaire du nombre r´elϑ— on a donc

1
ϑ −siϑ∈/Z,
2
B(ϑ) =
0 siϑ∈Z.

Ce choix s’explique d’une part par l’int´rˆt arithm´tique de la fonctionB1,
imm´diatement li´e ` la fonction partie enti`re, et d’autre part par le fait bien
connu que la convergence de la s´rie des coefficients est meilleure dans le cas des
(1)
s´ries de sinus que dans celui des s´ries de cosinus,ce qui augmente a priori la
probabilit´ de convergence de (1∙1). On a

(1∙2)



sin(2πmϑ)
B(ϑ) =−.
πm
m=1

Normalisons la fonctionhde (1∙1) en posanth(n) =g(n)/npourn1. Nous
pouvons alors r´´crire (1∙1) sous la forme

(Dϑ)

∞ ∞

f(m)g(n)
sin(2πmϑ) +B(nϑ) = 0,
πm n
m=1n=1

o` les fonctions arithm´tiquesfetgsont li´es par la relation de convolution

(1∙3)f=g∗1,i.e. f(n) =g(d) (n1).
d|n


1. Siansin(2πnϑ) est une s´rie de Fourier ` coefficients de signe constant, on a
n1

n´cessairement|an|/n <∞: voir par exemple [18],CorollaryI.4.2.
n1

S´ries trigonom´triques ` coefficients arithm´tiques

Dans tout cet article, nous ´crivons

(f, g)∈Dϑ

3

pour signifier que la relation (Dϑ) est satisfaite pour le couple de fonctions
arithm´tiques (f, g) v´rifiant (1∙3). En outre, par commodit´ de r´f´rence, nous
d´signons respectivement parU(f;ϑ) etV(g;ϑ) les s´ries enfetgde (Dϑ), soit
formellement

f(m)g(n)
U(f;ϑ) :=sin(2πmϑ), V(g;ϑ) :=B(nϑ).
πm n
m1n1

Nous remarquons d’embl´e que, si (f, g)∈Dϑpour toutϑet si la convergence
des deux membres est uniform´ment born´e enϑ, alors (f∗h, g∗h)∈Dϑpour
toutϑd`s que

(1∙4)


|h(n)|
<∞.
n
n1

Cela d´coule imm´diatement du th´or`me de Lebesgue, et nous omettons les d´tails,
qui sont standard.
Une autre application imm´diate du th´or`me de Lebesgue dans ce contexte
consiste ` remarquer que, si


F(ϑ) =aF(n) cos(2πnϑ) +bF(n) sin(2πnϑ)
n1

est une fonction ` variation born´e surTqui est en tout point somme de sa s´rie
(2)
de Fourier,et si (f, g) est un couple de fonctions arithm´tiques satisfaisant (Dϑ)
pour toutϑ∈Ravec une convergence uniform´ment born´e des s´riesU(f;ϑ) et
V(g;ϑ), alors on a


(1∙5)f(m)aF(m) cos(2πmϑ) +bF(m) sin(2πmϑ) +g(n)Fn(ϑ) = 0
m1n1

o`



1j
Fn(ϑ) :=F ϑ+ =aF(k) cos(2πkϑ) +bF(k) sin(2πkϑ)
n n
1jn k1
k≡0 (modn)

2. D’apr`sun th´or`me de Jordan, il suffit pour cela qu’elle soit normalis´e par
1 1
F(ϑ) =F(ϑ+) +F(ϑ−).
2 2

de sorte que Δ(ϑ;y) = Δδ(ϑ;yeepxecttoi,nerssla¸crempdansant,nE.)2n(siπmϑ)/π
par

µ(d)
Δ(mϑ;y/m)−B(dmϑ)
d
dy/m

imm´diatement

et nous omettons les d´tails.
Le d´veloppement de Fourier classique (1∙2) coıncide avec (Dϑ) lorsque

il obtient la forme quantitative

(3)
o`δDans [7], [8], Davenport donne und´signe l’´l´ment neutre de la convolution.
certain nombre de cas de validit´ de (Dϑ) et prouve en particulier que (δ, µ)∈Dϑ
pour tout nombre r´elϑ. Plus pr´cis´ment, en ´tablissant entre autres, pour chaque
A >0 fix´, la majoration

Riemann


1
Fn(ϑ) =B(nϑ−nv) dF(v)
n
T

F.

(f, g) = (1,δ),

`

associ´e


sin(2πϑ)µ(n) 1
Δ(ϑ;y+) :=B(nϑ)≪
A
π n(logy)
ny

(n1),

r´sulte

Cela

R. de la Bret`che et G. Tenenbaum

de

la

est la somme
repr´sentation

4

de


y
2πinϑ
supµ(n)e≪
A
ϑ∈R(logy)
ny

(1∙8)

(1∙7)

(y2),

(4)
valable, pour toutA >0, uniform´ment enϑ∈R.
Posons plus g´n´ralement

3. D´finiparδ(1) = 1 etδ(n) = 0 sin2.
4. L’estimationconditionnelle de Δ(ϑ;y) pose ´galement un probl`me int´ressant encore
partiellement ouvert. Sous l’hypoth`se de Riemann g´n´ralis´e, Baker et Harman [1] ont
(3/4)+o(1)
montr´ que le membre de gauche de (1∙6) est< y. On peut en d´duire facilement,
−1/4+o(1)
en utilisant le r´sultat de Davenport, que sup|Δ(ϑ;y)|< y.En fait, pour
ϑ∈R


toute fonctionεypositive et d´croissante v´rifiantεtdt/t <∞et telle que le membre

1

∗ ∗
de gauche de (1∙6) soit≪yεy, on a sup|Δ(ϑ;y)| ≪εlogyavecε:=εtdt/t. On
ϑ∈Ry y
y
peut ´tablir cela en utilisant la repr´sentation (7∙39), la majoration (7∙41) et le fait que
Δ(ϑ, y) est d´rivable enϑ, et de d´riv´e≪yεy, sur tout intervalle ne contenant pas de
point de la suite de Farey d’ordrey.


f(m)g(n)
Δf(ϑ;ysin(2) :=πmϑ) +B(nϑ),
πm n
my ny

(1∙6)

S´ries trigonom´triques ` coefficients arithm´tiques

pour chaque entiermde [1, y], nous obtenons l’identit´

(1∙9)


f(m)
Δf(ϑ;y) =Δ(mϑ;y/m),
m
my

5

qui peut ˆtre utilis´e, compte tenu de (1∙7), pour donner des conditions suffisantes
de validit´ de (Dϑ). Il est clair, en effet, que l’on a (f, g)∈Dϑsi, et seulement
si, l’une des s´riesU(f;ϑ),V(g;ϑ), converge et Δf(ϑ;y)→0 lorsquey→ ∞.
L’´nonc´ suivant, qui ne fait intervenir qu’une condition de croissance surf, r´sulte
imm´diatement de (1∙7) et (1∙9).

Th´or`me 1.1.Soientϑ∈R, et(f, g)un couple de fonctions arithm´tiques
v´rifiant (1∙3). Alors, on a(f, g)∈Dϑd`s que l’une au moins des deux conditions
suivantes est r´alis´e :
(i) Les deux s´ries de(Dϑ)sont convergentes et l’on a, pour un nombre r´elA >0
convenable,

(1∙10)


|f(m)|
lim inf= 0.
A
m(log 2y/m)
y→∞
my

(ii) L’une des deux s´ries de(Dϑ)est convergente et l’on a

(1∙11)|f(m)|=o(y) (y→ ∞).
my

Davenport montre dans [7] que l’on a (1∗λ, λ)∈Dϑpour toutϑ∈R, o`λ
d´signe la fonction de Liouville; sa d´monstration s’adapte plus g´n´ralement au


cas|f(n)|/n <∞, qui est inclus dans l’assertion (i) de l’´nonc´ pr´c´dent.
n=1
Dans ce travail, nous nous proposons d’aborder le probl`me de la validit´ de (Dϑ)
en utilisant la notion nouvelle deP-convergence. Ce proc´d´ de sommation a ´t´
formellement d´fini par Fouvry et Tenenbaum dans [14]; la notion est comparabl
acellededensit´multiplicative,intreoduiteparDavenportetErd˝os[11],qui

recouvre essentiellement la mˆme id´e.
Rappelons les d´finitions essentielles dans un ´nonc´ formel. Ici et dans tout
l’article, nous d´signons parP(n) le plus grand facteur premier d’un entier
g´n´riquenavec la conventionP(1) = 1.


D´finition 1.2 ([14]).On dit qu’une s´rie de nombres
complexesαn,P
n=1
converge versαsi la s´rieαnconverge pour touty2, et si l’on a
P(n)y

αn=α+o(1) (y→ ∞).
P(n)y

6R. de la Bret`che et G. Tenenbaum


On dit qu’une s´rie convergenteαnestP-r´guli`re si elle estP-convergente
n=1
et si saP-somme est ´gale ` sa somme ordinaire, autrement dit si l’on a


limαn=αn.
y→∞
P(n)y n=1

c
Il est ` noter qu’une s´rieαnest convergente d`s queαn≪1/navec
P(n)y
c >0.
Consid´rons lesP-sommes partielles de la s´rie (1∙2), soit

sin(2πnϑ)
(1∙12)B(ϑ;y) :=−.
πn
P(n)y
La remarque fondamentale, qui justifie l’introduction du proc´d´ deP-sommation
dans cette ´tude, est que leP-analogue de (Dϑ)

f(m)g(n)
(1∙13) sin(2πmϑ) +B(nϑ;y() = 0y2)
πm n
P(m)y P(n)y
est trivialement v´rifi´ d`s que

(1∙14)|g(n)|/n <∞.
P(n)y

Introduisant lesP-sommes partielles de la s´rie (1∙8), soit

f(m)g(n)
(1∙15)∇f(ϑ;ysin(2) :=πmϑ) +B(nϑ),
πm n
P(m)y P(n)y

et lesd´fauts deP-r´gularit´ desP-sommes correspondant aux s´riesU(f;ϑ)

etV(f;ϑ), soit

f(m)g(n)
(5)
Uf(ϑ;y) :=sin(2πmϑ), Vg(ϑ;y) :=B(nϑ),
πm n
P(m)y P(n)y
m>y n>y

nous d´duisons trivialement de (1∙15) une autre identit´ pour Δf(ϑ;y) :
(1∙16) Δf(ϑ;y) =∇f(ϑ;y)−Uf(ϑ;y)−Vg(ϑ;y) (y2).
Cette formule est la base de notre approche. Elle implique en particulier que (Dϑ)
est r´alis´e d`s que les deux s´ries sontP-r´guli`res et

(1∙17)∇f(ϑ;y) =o(1) (y→ ∞).
Cela conduit naturellement ` la d´finition suivante.

5. Desorte que, sous r´serve de convergence ordinaire, les s´ries de (Dϑ) sontP-r´guli`res
si, et seulement si,Uf(ϑ;y) =o(1) ouVg(ϑ;y) =o(1), respectivement.

S´ries trigonom´triques ` coefficients arithm´tiques

7

D´finition 1.3.On dit qu’un couple(f, g)de fonctions arithm´tiques li´es par la
relation (1∙3) estϑ-adapt´ si l’on a (1∙14) pour touty2et si la relation (1∙17)
est satisfaite.
Il est utile de garder ` l’esprit que, pour un couple (f, g)ϑ-adapt´,
laP-convergence de l’une des deux s´riesU(f;ϑ) etV(g;ϑ) implique celle de l’autre, les
P-sommes ´tant alors n´cessairement oppos´es.
`finsder´f´renceult´rieurenousr´capitulonsdanslapropositionsuivanteles
conditions suffisantes usuelles de validit´ de (Dϑ) pour un coupleϑ-adapt´.
Proposition 1.4.Soit(f, g)un coupleϑ-adapt´. On a(f, g)∈Dϑsi l’une au
moins des conditions suivantes est r´alis´e :
(a) la s´rieU(f;ϑ)converge etUf(ϑ;y) =o(1),Vg(ϑ;y) =o(1)lorsquey→ ∞;
(b) la s´rieV(g;ϑ)converge etUf(ϑ;y) =o(1),Vg(ϑ;y) =o(1)lorsquey→ ∞;
(c) les deux s´riesU(f;ϑ)etV(g;ϑ)sont convergentes et l’on a

(1∙18)

lim inf|Vg(ϑ;y)|+|Uf(ϑ;y)|= 0.
y→∞

De plus, sous les conditions (a) ou (b), les deux s´ries de(Dϑ)sontP-r´guli`res.
Bien entendu, si (f, g) estϑ-adapt´, les s´ries de (Dϑ) sont
simultan´mentPconvergentes ou simultan´mentP-divergentes. Il serait int´ressant de savoir si elles
sont n´cessairement simultan´mentP-r´guli`res. Dans le cas contraire, il faudrait
encore d´terminer s’il peut se produire qu’une seule des deux s´ries soit convergente
au sens ordinaire ou si, lorsque les deux s´ries sont ` la foisP-convergentes et
convergentes, laP-r´gularit´ de l’une implique celle de l’autre. Nous verrons plus
loin que les deux s´ries associ´es ` un coupleϑ-adapt´ peuvent ˆtreP-convergentes
alors que l’une au moins est divergente au sens usuel.
D’apr`s [14], on a pour toutϑ∈R

(1∙19)


sin(2πmϑ)
∇1(ϑ;y) =+B(ϑ) =o(1)
πm
P(m)y

(y→ ∞),

ce qui est une reformulation de laP-r´gularit´ de la s´rieB(ϑ) pour tout nombre
r´elϑ, puisque

(1∙20)

B(ϑ;y) =B(ϑ)− ∇1(ϑ;y).

LeP-analogue du membre de gauche de (1∙7) est

(1∙21)


sin(2πϑ)µ(n)
∇(ϑ;y) :=∇δ(ϑ;y) =+B(nϑ).
π n
P(n)y

Nous verrons plus loin (Th´or`me 2.1) que cette quantit´
est≪1/logyuniform´ment enϑ, avec mˆme une majoration meilleure lorsqueϑest irrationnel.