L'équation de Szegö cubique Séminaire Analyse harmonique Orsay Mars

Sandrine Grellier

Description

Intro Szego cubic Lax pair Solitons M(1) Tores L'equation de Szego cubique Sandrine Grellier Universite d'Orleans- Federation Denis Poisson Orsay Mars 2010 en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier L'equation de Szego cubique

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• universite de paris sud


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• intro szego cubic


• systeme d'equations de transport couplees

Sujets

• Grellier
• Poisson
• Universite de Paris Sud

Informations

• Publié par: pefav
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 28
• Langue: Français

Extrait

Intro

Szeg ¨ ocubic

Lax pair

Solitons

M(1)

Tores

L’ ´ equationdeSzego ¨ cubique

Sandrine Grellier

Universite ´ d’Orle ´ ans-F ´ ede ´ rationDenisPoisson Orsay Mars 2010

en collaboration avec P. Ge´  rardU(evinssri)uditrsPa ´ e

Sandrine Grellier

L’ ´ equationdeSzego ¨ cubique

Intro pair Solitons Szego¨ cubic  LaxM(1)Tores Motivation

Etuded’ ´ equationdeSchro ¨ dingeroumi-onded ´ eg ´ ene ´ re ´ e.

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R}deoni-emyptnoitauqe ´ ele ` do,m

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

´ equivalent ` auneel ´ upcost ` emsysequaed’ ´ dsteitnooptrarsn

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

:go ou`ΠL 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 )  ¨ projecteur de Sze L 2 + (S 1 ) := ( u= k ∞ X =0 ˆ u(k)e ikθ ; (u ˆ( k)) k ∈` 2 (N) ) .

Sandrine Grellier

L’e ´ quationdeSzeg ¨ ocubique

Introg ¨ ocSzepxaLcibutiloSriasonM(1)Tores Motivation

Etuded’e ´ quationdeSchro ¨ dingeroumi-onded ´ eg ´ ene ´ re ´ e.

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R}tnoitauqe ´ ele ` do,mdei-onypem

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

e´ quivalent a`  unyssemt ` ’ ´ eduaeqcoupl ´ eesitnodstearsnoptr

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

ou`Π :L 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 )eSzeeurdjectpro ¨ go L 2 + (S 1 ) := ( u= X ∞ ˆ u(k)e ikθ ; (ˆ u(k)) k ∈` 2 (N) ) . k=0

Sandrine Grellier

L’e´ quation de Szego¨ cubique

IntrooSriapxasnotilegSzcLbicu ¨ oM(1)Tores Motivation

Etuded’ ´ tiondeSchro ¨ dingeroumi-ondede ´ g ´ en ´ ere ´ e. equa

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R}d ` el,moend-oimepytnoitauqe ´ e

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

equivalent a`  unes ´ etsys ` emed’ ´ equationsedrtnapsroctuolp ´

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

ou`Π :L 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 )jorpegSz ¨ oteecdeur ∞ L 2 + (S 1 ) := ( u= X ˆ u(k)e ikθ ; (ˆ u(k)) k ∈` 2 (N) ) . k=0

Sandrine Grellier

L’e´ quation de Szego¨ cubique

IntrosnSizreSgo ¨ loictuobicLaxpaM(1)Tores Motivation

Etuded’ ´ equationdeSchr ¨ odingeroumi-onded ´ egeneree. ´ ´ ´

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R}epimo-dneytnoitauqe ´ ele ` dmo,

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

´ e´ quivalent a`  uneesoupledrtoisnroctnapsstsyme ` e ´ ed’atqu

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

ouΠ :L 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 ) projecteur de Szego¨ ` L 2 + (S 1 ) := ( u= X ∞ u ˆ( k)e ikθ (ˆ( k)) k ∈` 2 (N) ) . ;u k=0

Sandrine Grellier

L’ ´ equationdeSzego ¨ cubique

IntrosnilotgezScLbicu ¨ oSoirpaaxM(1)Tores Motivation

Etuded’e ´ quationdeSchr ¨ odingeroumi-onded ´ ege ´ n ´ ere ´ e.

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R},om ` dle ´ eqeauitontypemi-onde

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

equivalent a`  un es syste` me d’e´  quations  de transport couple´ ´

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

o`uΠ :L 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 ) ¨ oSzegetceedrujorp L 2 + (S 1 ) := ( u= k= X ∞ 0 u ˆ( k)e ikθ ; (ˆ u(k)) k ∈` 2 (N) ) .

Sandrine Grellier

L’ ´ equationdeSz ¨ cubique ego

Intro ¨ oegSztonsLcxauciboSilapriM(1)Tores Motivation

Etuded’e ´ quationdeSchro ¨ dingeroumi-ondede ´ g ´ en ´ er ´ ee.

SurS 1 ={z=e

iθ ∈C, θ∈R}noitauqe ´ ele ` dom,ndemi-otype

i∂ t u− |D θ |u=|u| 2 u,u t=0 =u 0

´ equivalent ` aun es syste` me d’e´  quations  de transport couple´

i(∂ t +∂ θ )Π(u) i(∂ t −∂ θ )(Id−Π)(u)

= =

Π(|u| 2 u), (Id−Π)(|u| 2 u)

o`uΠ :L 2 (S 1 )→L 2 + (S 1 )edzSetrujocerpeg ¨ o ∞ L 2 + (S 1 ) := ( u= X u ˆ( k)e ikθ ; (ˆ u(k)) k ∈` 2 (N) ) . k=0

Sandrine Grellier

L’ ´ equationdeSzegocubique ¨

Intro Szego¨ cubic  pair Lax Solit Forme normale

onsM de

Th ´ eor ` eme Si s>1, pour u 0 ku 0 k H s =ε <<1

ou `

(1)Tores Birkhoff

∈H s (S 1 )avecΠ(u 0 ) =u 0 , alors

ku(t)−v(t)k H s

≤Cε 2 ,t≤

et

cε −2 log( 1 ε )

i(∂ t +∂ θ )v= Π(|v| 2 v).

En posant,v(t, θ+t) =w(t, θ)uationdenola ´ ’qe, Szeg ¨ ocubique

i∂ t w= Π(|w| 2 w).

Sandrine Grellier

(S)

L’ ´ equationdeS ¨ ocubique zeg