L'équation de Szegö cubique Séminaire Analyse harmonique Orsay Mars

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01 mars 2010

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Intro Szego cubic Lax pair Solitons M(1) Tores L'equation de Szego cubique Sandrine Grellier Universite d'Orleans- Federation Denis Poisson Orsay Mars 2010 en collaboration avec P. Gerard (Universite Paris sud) Sandrine Grellier L'equation de Szego cubique

id ?

universite de paris sud

equation de szego cubique

intro szego cubic

systeme d'equations de transport couplees

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Français

Intro

Szeg¨ocubic

Lax pair

Solitons

M(1)

Tores

L’´equationdeSzego¨cubique

Sandrine Grellier

Universite´d’Orle´ans-F´ede´rationDenisPoisson Orsay Mars 2010

en collaboration avecP. Ge´ rardU(evinssri)uditrsPa´e

Sandrine Grellier

L’´equationdeSzego¨cubique

Intro pair SolitonsSzego¨ cubic LaxM(1)Tores Motivation

Etuded’´equationdeSchro¨dingeroumi-onded´eg´ene´re´e.

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R}deoni-emyptnoitauqe´ele`do,m

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

´equivalent`auneel´upcost`emsysequaed’´dsteitnooptrarsn

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

:go ou`ΠL2(S1)→L2+(S1) ¨projecteur de Sze L2+(S1) :=(u=k∞X=0ˆu(k)eikθ; (uˆ(k))k∈`2(N)).

Sandrine Grellier

L’e´quationdeSzeg¨ocubique

Introg¨ocSzepxaLcibutiloSriasonM(1)Tores Motivation

Etuded’e´quationdeSchro¨dingeroumi-onded´eg´ene´re´e.

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R}tnoitauqe´ele`do,mdei-onypem

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

e´ quivalent a` unyssemt`’´eduaeqcoupl´eesitnodstearsnoptr

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

ou`Π :L2(S1)→L2+(S1)eSzeeurdjectpro¨go L2+(S1) :=(u=X∞ˆu(k)eikθ; (ˆu(k))k∈`2(N)). k=0

Sandrine Grellier

L’e´ quation de Szego¨ cubique

IntrooSriapxasnotilegSzcLbicu¨oM(1)Tores Motivation

Etuded’´tiondeSchro¨dingeroumi-ondede´g´en´ere´e. equa

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R}d`el,moend-oimepytnoitauqe´e

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

equivalent a` unes´etsys`emed’´equationsedrtnapsroctuolp ´

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

ou`Π :L2(S1)→L2+(S1)jorpegSz¨oteecdeur ∞ L2+(S1) :=(u=Xˆu(k)eikθ; (ˆu(k))k∈`2(N)). k=0

Sandrine Grellier

L’e´ quation de Szego¨ cubique

IntrosnSizreSgo¨loictuobicLaxpaM(1)Tores Motivation

Etuded’´equationdeSchr¨odingeroumi-onded´egeneree. ´ ´ ´

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R}epimo-dneytnoitauqe´ele`dmo,

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

´ e´ quivalent a` uneesoupledrtoisnroctnapsstsyme`e´ed’atqu

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

ouΠ :L2(S1)→L2+(S1)projecteur de Szego¨ ` L2+(S1) :=(u=X∞uˆ(k)eikθ(ˆ(k))k∈`2(N)). ;u k=0

Sandrine Grellier

L’´equationdeSzego¨cubique

IntrosnilotgezScLbicu¨oSoirpaaxM(1)Tores Motivation

Etuded’e´quationdeSchr¨odingeroumi-onded´ege´n´ere´e.

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R},om`dle´eqeauitontypemi-onde

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

equivalent a` un essyste` me d’e´ quations de transport couple´ ´

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

o`uΠ :L2(S1)→L2+(S1)¨oSzegetceedrujorp L2+(S1) :=(u=k=X∞0uˆ(k)eikθ; (ˆu(k))k∈`2(N)).

Sandrine Grellier

L’´equationdeSz¨cubique ego

Intro¨oegSztonsLcxauciboSilapriM(1)Tores Motivation

Etuded’e´quationdeSchro¨dingeroumi-ondede´g´en´er´ee.

SurS1={z=e

iθ∈C, θ∈R}noitauqe´ele`dom,ndemi-otype

i∂tu− |Dθ|u=|u|2u,ut=0=u0

´equivalent`aun essyste` me d’e´ quations de transport couple´

i(∂t+∂θ)Π(u) i(∂t−∂θ)(Id−Π)(u)

= =

Π(|u|2u), (Id−Π)(|u|2u)

o`uΠ :L2(S1)→L2+(S1)edzSetrujocerpeg¨o ∞ L2+(S1) :=(u=Xuˆ(k)eikθ; (ˆu(k))k∈`2(N)). k=0

Sandrine Grellier

L’´equationdeSzegocubique ¨

IntroSzego¨ cubic pair Lax Solit Forme normale

onsM de

Th´eor`eme Si s>1, pour u0 ku0kHs=ε <<1

ou `

(1)Tores Birkhoff

∈Hs(S1)avecΠ(u0) =u0 , alors

ku(t)−v(t)kHs

≤Cε2,t≤

cε−2log(1ε)

i(∂t+∂θ)v= Π(|v|2v).

En posant,v(t, θ+t) =w(t, θ)uationdenola´’qe, Szeg¨ocubique

i∂tw= Π(|w|2w).

Sandrine Grellier

(S)

L’´equationdeS¨ocubique zeg

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