Les problèmes de l'APMEP Solution du no

Jean Trignan

Description

Les problèmes de l'APMEP Solution du no 308 Énoncé no 308 (François LO JACOMO, 75–Paris) Soient (D1) et (D2) deux droites de l'espace. À quelle condition, si l'on compose une rotation d'un tiers de tour autour de (D1) avec une rotation d'un tiers de tour autour de (D2), obtient-on une rotation d'un tiers de tour ? À quelle condition, si l'on compose une rotation d'un quart de tour autour de (D1) avec une rotation d'un quart de tour autour de (D2), obtient-on une rotation d'un quart de tour ?SOLUTION C'est en relisant le manuscrit de Jean Trignan, La géométrie des nombres hypercomplexes (paru récemment chez Vuibert), que m'est venue l'idée de ce problème. Et j'ai reçu plusieurs solutions : Michel BATAILLE (76–Rouen), Richard BECZKOWSKI (71–Chalon s/Saône), Marie-Laure CHAILLOUT (91–Epinay s/Orge), Christian DUFIS (87–Limoges), Robert FERRÉOL (75–Paris), Georges LION (98–Wallis), René MANZONI (76–Le Havre) et Raymond RAYNAUD (04–Digne), qui permettent de dégager trois méthodes. Tout d'abord, ne négligeons pas la question : à quelle condition, si l'on compose une rotation autour de (D1) avec une rotation autour de (D2), obtient-on une rotation ? Appelons r1 et r2 les rotations d'axes (D1) et (

• composée r2


• composée


• cos sin?


• angle ? de la rotation r2


• uru uru


• angle pi


• rotation


• cos sin


• angle ? des plans

Sujets

• Manzoni
• Bataille
• Ferréol
• Raynaud
• Asteraceae
• Lago Uru Uru

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Extrait

272 Pour chercher et approfondir

Les problèmes de l’APMEP

o Solution du n308

o Énoncé n308 (François LO JACOMO, 75–Paris) Soient (D ) et (D ) deux droites de l’espace. À quelle condition, si l’on compose une 1 2 rotation d’un tiers de tour autour de (D) avec une rotation d’un tiers de tour autour 1 de (D), obtient-on une rotation d’un tiers de tour ? À quelle condition, si l’on 2 compose une rotation d’un quart de tour autour de (D) avec une rotation d’un quart 1 de tour autour de (D), obtient-on une rotation d’un quart de tour ? 2 SOLUTION C’est en relisant le manuscrit de Jean Trignan,La géométrie des nombres hypercomplexes(paru récemment chez Vuibert), que m’est venue l’idée de ce problème. Et j’ai reçu plusieurs solutions : Michel BATAILLE (76–Rouen), Richard BECZKOWSKI (71–Chalon s/Saône), Marie-Laure CHAILLOUT(91–Epinay s/Orge), Christian DUFIS (87–Limoges), Robert FERRÉOL(75–Paris), Georges LION (98–Wallis), René MANZONI (76–Le Havre) et Raymond RAYNAUD (04–Digne), qui permettent de dégager trois méthodes. Tout d’abord, ne négligeons pas la question : à quelle condition, si l’on compose une rotation autour de (D ) avec une rotation autour de (D ), obtient-on une rotation ? 1 2 Appelonsretr) et (Dles rotations d’axes (D) l’axe de la composée, M un), (D 1 21 23 point de (D ). Sirtransforme M en M′,rdoit transformer M′en M. Donc (D ) doit 3 12 1 appartenir au plan bissecteur de [MM′] et (D ) également : les deux axes (D ) et (D ) 2 12 doivent être coplanaires. Si (D) et (D) ne sont pas coplanaires, la composée n’est 1 2 pas une rotation, mais un vissage propre. La première des trois méthodes utilisées, peut-être la plus classique, consiste à considérer les rotations comme des produits de demi-tours : sidest le demi-tour autour de la perpendiculaire commune à (D) et (D), on peut écrire :r=dod, 1 21 1 r=dod, d’oùror=dod. Le problème se ramène à trouver l’angle des axes 2 22 12 1 des demi-toursdetd. 2 1 Mais la seconde méthode me semble plus facile à visualiser. Elle consiste à considérer les rotations comme des produits de symétries planes. Si (P) est le plan 3 défini par (D ) et (D ), etpla symétrie par rapport à ce plan, il existe deux symétries 1 23 planespetp, par rapport à des plans (P) et (P), telles que :r=popet 1 21 21 32 r=pop) et (P ), et (D ) l’intersection des plans. (D ) est l’intersection des plans (P 2 13 13 22 (P ) et (P ). La composéeror=popest une rotation d’axe (D )=(P )∩(P ). Or 1 32 11 23 12 l’angle der(resp.retr) est le double de l’angle des plans (P ), (P ) (resp. (P ), (P ) 1 23 32 13 et (P ), (P )). Il suffit donc de trouver trois plans formant deux à deux un angle deπ/3 2 1 pour la première question,π/4 pour la seconde.

APMEP o n 469

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Les problèmes de l’APMEP 273

N’oublions pas que les droites (D) et (D), coplanaires, ne sont pas 1 2 obligatoirement sécantes. Si elles sont parallèles (ou confondues), la composée des rotationsretrd’angles 2π/3 est une rotation d’angle 2π/3 siretrsont de même 1 21 2 sens, c’est une translation si elles sont de sens contraire. Dans le premier cas, l’axe (D ) de la composée est tel que les plans (P ), (P ) et (P ) forment des angles deπ/3 : 3 12 3 l’intersection des trois axes (D), (D) et (D) avec un plan perpendiculaire forme 1 23 donc un triangle équilatéral. Par contre, deux rotationsretrd’anglesπ/2 autour 1 2 d’axes parallèles ont pour composée soit une translation, soit une rotation d’angleπ, donc en aucun cas une rotation d’angleπ/2. Si (D) et (D) sont sécantes en T, T appartient aux trois plans (P), (P) et (P) 1 21 23 donc à (D ). On peut voir ces trois plans comme les trois faces d’une pyramide TABC 3 plus ou moins aplatie, de base un triangle équilatéral. Si l’on considère un repère dans lequel les sommets de la pyramide soient T(t,t,t), A(1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (0, 0, 1), le vecteur (t,t, 1−2t) est orthogonal au plan TAB, donc l’angleθdes plans vérifie 2 −3t+2t cosθ= 2 6t−4t+1 alors que l’angleδdes droites vérifie : 2 3t−2t cosδ= . 2 3t−2t+1 Il est facile de remarquer que : 1 1 + =−1 , cosθcosδ donc −cosθ cosδ= . 1+cosθ Pour que la composée de deux tiers de tours d’axes concourants (D) et (D) soit un 1 2 tiers de tour, il faut et il suffit que les axes (D) et (D) forment un angle de cosinus 1 2 −1/3. Pour que la composée de deux quarts de tours d’axes (D) et (D ) soit un quart 1 2 de tour, il faut et il suffit que les axes (D) et (D) soient concourants et forment un 1 2 angle de cosinus 1−2 . Le cas des tiers de tour présente un intérêt supplémentaire : T est le centre d’un tétraèdre régulier ABCD (ou d’un cube dont A, B, C, D sont quatre des huit sommets). La rotation d’un tiers de tour autour de (D)=(TB) (grande diagonale du 1 cube) permute C, D et A, et la rotation d’un tiers de tour autour de (D)=(TC) 2 permute D, A et B. Si ces deux rotations sont dans le « bon sens » : A→D→C puis D→A→B, leur composée est bien une rotation d’angleπ/3 autour de (TD)=(D ), 3 vérifiant :A→B→C. Si par contrerest dans l’autre sens, la composée est un 2 demi-tour autour de la perpendiculaire commune àAC et BD.

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D

T (D ) 2 A B (D ) 1

C Figure : Le composé de deux tiers de tour est un tiers de tour…

La troisième méthode, celle à laquelle j’avais pensé initialement, utilise les quaternions. Rappelons qu’un quaternion peut s’écriret + uoùu=xi+ yj+ zk r peut être identifié au vecteur u (x,y,z). Deux quaternionsuetv, de parties réelles nulles, ont alors pour produit : r rr r uv= −u⋅v+u∧v , r rr r si bien que : lorsque u t v nt colinéaires,uv=vu; lorsque u et v sont orthogonaux,uv= −vu. Donc comme cette multiplication des quaternions est r associative, une rotation deθautour d’un axe de vecteur unitaire u ransforme un r r r  θ θ   θ θ vecteur v en  cos+usin  v  cos−usin : c’est immédiat lorsque u t v  2 2   2 2 sont colinéaires ou orthogonaux, cela se généralise à tout autre vecteur par linéarité. uur Si donc on associe à une rotationrd’angleθautour d’un vecteur unitaire u 1 le 1 1  θ θ  1 1 quaternion  cos+u 1 sin  , et à une rotationrd’angleθautour d’un vecteur 2 2  2 2  uur  θ θ 2 2 unitaire u 2 le quaternion  cos+u 2 sin à la rotationroron associera le 2 1  2 2 produit des quaternions :  θ θ   θ θ  2 21 1  cos+u 2 sin   cos+u 1 sin  .  2 2   2 2  Sa partie réelle suffit à déterminer l’angleδde la rotationror: 2 1 Suite page 238

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Suite de la page 274 uuruur δ θθ  θ θ  1 21 2 cos=cos cos− sin sin  u 1 .u 2 , 2 22  2 2  la partie vectorielle fournissant l’axe de cette rotation : uuruuruuruuruur  δ   θ   θ   θ θ  1 21 2  sin  u 3 = cos  u 2 +  cos  u 1 + sin sin  u 1 ∧u 2 .  2   2   2   2 2  Pour notre problème où l’on supposeθ=θ=δ=2π/3 ouπ/2, il suffit de résoudre : 1 2 uuruur 1 31 −u⋅u= 1 2 4 42 dans le premier cas, uuruur 1 12 −u⋅u= 1 2 2 22 dans le second ; lorsque la méthode est connue, le résultat est immédiat.