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M31: Algebre lineaire

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Description

2011/12 M31: Algebre lineaire J. Huebschmann USTL, UFR de Mathematiques 59655 Villeneuve d'Ascq Cedex, France Le 22 novembre 2011 1

  • equations differentielles

  • polynome minimal

  • equations differentielles d'ordre superieur

  • decomposition d'endomorphismes

  • calcul explicit des solutions maximales


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Langue Français

Exrait

2011/12M31:Alg`ebrelin´eaire
J. Huebschmann
USTL,UFRdeMathe´matiques
59655 Villeneuve d’Ascq Cedex, France Johannes.Huebschmann@math.univ-lille1.fr
Le
22
novembre
1
2011
Contents 1 Rappels 4 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3Applicationslin´eaires,matrices........................5 2De´terminants6 2.1D´eterminantsenbassesdimensions......................6 2.2 Transpositions et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.1 Transpositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2 Signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3De´nition....................................8 2.4Proprie´te´sdesd´terminants..........................9 e 2.5Calculdund´eterminant............................11 2.6De´veloppementdund´eterminant.......................11 2.7Applicationsdesde´terminants.........................12 2.7.1 Calcul de l’inverse d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7.2Syste`mesdeCramer..........................13 2.7.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3R´eductiondendomorphismes:Diagonalisation14 3.1Valeurpropre,vecteurpropre,polynoˆmecaracte´ristique...........14 3.2 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4Polynˆomesdendomorphismesoudematrices20 4.1Th´eore`medeCayley-Hamilton.........................20 4.2De´compositiondendomorphismes.......................22 4.3Polynˆomeminimal...............................23 5 Triangularisation 24 6Re´ductionsuivantsous-espacescaracte´ristiques26 6.1Sous-espacescaracte´ristiques..........................26 7De´compositiondendomorphismes30 8Syst`emesdierentielslin´eaires33 ´ 8.1G´ene´ralit´es...................................33 8.2Syste`mesdie´rentielslin´eaires.........................33 8.3Syst`emesdi´entielsline´airesa`coecientsconstants............34 er 8.4 Exponentielle d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 8.5Solutionsmaximalesdunsyst`emehomoge`neacoecientsconstants....37 ` 8.6 Calcul de l’exponentielle matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.6.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 8.7 Calcul explicit des solutions maximales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2
8.8 8.9 8.10 8.11 8.12
Variation des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Equationsdi´erentiellesdordresupe´rieur;g´ene´ralite´s. ´ Equationsdie´rentielleslin´eairesdordrentsa`oceicne Lame´thodedevariationdesconstantes.........
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . constants . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
41 42 44 46 48
1 Rappels 1.1 Espaces vectoriels Le corps de baseKslecjourttouesrbmo´rsespronsedlseeRou celui des nombres complexesC. UnK-espace vectoriel est un ensembleVdeueox´pm,nudiaternsio V×V−→V,(u, v)7u+v K×V−→V,(λ, v)7λv etdun´ele´ment0telsquecesdonne´essatisfassentauxloissuivantes: 1. (u+v) +w=u= (v+w)(assotidi);ontaictiviede´dal 2.u+v=v+uaddidel);tionmmtu(octie´tavi 3. quel que soituV, il existevVet un seul tel queu+v=on0;srorce´lati tvse nomm´ tifdeu. v=ue enega 4.λ(u+v) =λu+λv; 5. (λ+µ)u=λu+µu. Lope´ration+sappelleadditionoi(nretao´peltλ, v)7λvs’appellemultiplication par un scalaire. Dorenavant on dira souvent tout simplement “espace vectoriel” plutot queK-espace ´ vectoriel.Etantdonn´eunespacevectorielV,elesdntme´eels´Vs’appellentvecteurs(dans V). Exemples : Rn Cn SoitVun espace vectoriel etXune partie deV. Une som fi iePjm1λ` me n=jxjou λjKetxjXs’appellen´lioniseireaanibmocre(alitevemtna`X partie). LaXdeVest diteendndpeteanilae´nmeriitneoulibresiPmj=1λjxj=0euqenıˆartneλ1, . . . , λm= 0. La ´ partieXdeVest diteatercerie´´ngsi tout vecteurvdeVmedecombtsousforniiaosn´sirce line´airerelativementa`X. On dit queVestgnneneetrde´imnou aun nombre fini de g´ene´rateurssiVretairecemdanetumifaeglln´´eXdont le cardinal est fini. Proposition 1.1.Supposons que l’espace vectorielVatemduntembnonreegid-ee´´n rateurs et soitXune partie deVxuedseL.e´cnone´ntvauisseqt´onsss.uivalent 1. La partieXmereinntinelai´e(etniluope´dadnenuperaitets;malemaxibre) 2. la partieXriatern´´eegllmi.elaminimecenafseut SiVsenaeoelppleinttnemegne´rdnbasedeVune partieXdeVtisfaisont`aas une (et donc aux deux) des conditions de Proposition 1.1. Le cardinal d’une base est inde´pendantduchoixdebase;cecardinalsappelledimensiondeV. Exemple :e1, . . . , enest une base deKn.
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