Math IV Analyse Kholles de semaines Semaine
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Math IV - Analyse Kholles de 27/05/2008 = semaines 9,10,11,12 Semaine 1. *Exercice 1 Dans Rp donner la definition d'une boule ouverte de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrer en donnant un exemple que l'union d'une famille infinie de parties fermees de Rp n'est pas necessairement fermee. Exercice 3 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |2x? y| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. Exercice 4 Trouver la meilleure constante C telle que ?x?2 ≤ C?x?∞ pour tout x ? Rn. Exercice 5 On considere l'application suivante : N : R2 ?? R (x, y) 7?? |x+ y|+ |x| Verifier que N definit une norme. Tracer la boule unite autour de l'origine par rapport a cette norme. *Exercice 6 Dans Rp donner la definition d'une boule fermee de centre a et de rayon r. Demontrer qu'une boule fermee est un ferme. Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l'intersection d'une famille infinie de parties ouvertes de Rp n'est pas necessairement ouverte.

  • espace metrique

  • boule unite

  • boule fermee de centre

  • r2 ?

  • limite limx?a

  • demonstration de l'equivalence


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Publié par
Publié le 01 mai 2008
Nombre de lectures 9
Langue Français

Exrait

MathIV-AnalyseKhˆollesde27/05/2008=semaines9,10,11,12 Semaine 1.
*Exercice 1 DansRpdlrdanoentioie´nboneunderuveoultnecedeteraet de rayonrmenortre.´Dquune boule ouverte est un ouvert. Exercice 2 Montrerendonnantunexemplequeluniondunefamilleinniedepartiesferme´esdeRpn’est pasn´ecessairementferme´e. Exercice 3 Onconsid`erelapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)7|x+y|+|2xy| V´erierqueNrdouoelt´niuteaobaluelurT.erecaorme.`acettenrrpaoptririgenapein´donmruten Exercice 4 Trouver la meilleure constanteCtelle quekxk2Ckxkpour toutxRn. Exercice 5 Onconside`relapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)|7x+y|+|x| V´erierqueNtra`paopaprrigenme.enorcettacTrlaerulbonieuae´tuotuledriro´deinutenonmr.e *Exercice 6 DansRpennodundioitn´eadrlre´meeedenoblufecentreaet de rayonrrertuuq´D.nomeboneeul fermeeestunferm´e. ´ Exercice 7 Montrer en donnant un exemple que l’intersection d’une famille infinie de parties ouvertes deRp nestpasn´ecessairementouverte. *Exercice 8 Donnerlad´enitiondunepartieouvertedeRp . Donnerlad´enitiondunepartieborne´edeRp. Exercice 9 Onconsid`erelapplicationsuivante: N:R2−→R (x, y)7max(|x+ 3y|,|xy|) V´erierqueNlaboacere.Trnormuodraetuin´tluueaprrpanegirioelemronetteca`trop.ineenut´d *Exercice 10 Donnerlad´enitiondunespacenorme´enexplicitantlestroisconditionsquid´enissentunenorme. *Exercice 11 Montrer que l’intersection de deux parties ouvertes deRpest un ouvert.
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