Mesures de transcendance et aspects quantitatifs de la methode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt

Boris Adamczewski

Description

Mesures de transcendance et aspects quantitatifs de la methode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt Boris ADAMCZEWSKI (Lyon) & Yann BUGEAUD (Strasbourg) Abstract. A proof of the transcendence of a real number ? based on the Thue–Siegel–Roth–Schmidt method uses generally a sequence (?n)n≥1 of algebraic numbers of bounded degree or a sequence (xn)n≥1 of integer r-tuples. In the present paper, we show how such a proof can produce a transcendence measure for ?, if one is able to quantify the growth of the heights of the algebraic numbers ?n or of the points xn. Our method rests on the Quantitative Schmidt Subspace Theorem. We fur- ther give several applications, including to certain normal numbers, to the extremal numbers introduced by Roy, and to the study of real num- bers whose expansion in some integer base has sublinear complexity. In particular, we establish transcendence measures for automatic irrational real numbers. Resume. Une demonstration de la transcendance d'un nombre reel ? fondee sur la methode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt fait generalement intervenir une suite (?n)n≥1 de nombres algebriques de degres bornes ou bien une suite (xn)n≥1 de r-uplets d'entiers. Dans cet article, nous montrons comment une telle demonstration peut produire une mesure de transcendance de ?, pour peu que l'on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algebriques ?n ou des points xn.

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Sujets

• Schmidt
• Thomas-Robert Bugeaud
• Waldschmidt
• Théorème de Roth

Informations

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Extrait

Mesures de transcendance et aspects quantitatifs

delame´thodedeThue–Siegel–Roth–Schmidt

Boris A KIEZSWADCM (Lyon) & Yann B DUAEUG (Strasbourg)

Abstract.of the transcendence of a real numberA proof ξbased on the Thue–Siegel–Roth–Schmidt method uses generally a sequence(α n ) n≥1 of algebraic numbers of bounded degree or a sequence(x n ) n≥1 of integer rthe present paper, we show how such a proof can produce-tuples. In a transcendence measure forξ, if one is able to quantify the growth of the heights of the algebraic numbersα n or of the pointsx n . Our method rests on the Quantitative Schmidt Subspace Theorem. We fur- ther give several applications, including to certain normal numbers, to the extremal numbers introduced by Roy, and to the study of real num- bers whose expansion in some integer base has sublinear complexity. In particular, we establish transcendence measures for automatic irrational real numbers.

Re´sume´.dnnasnecnuonec’dationstratrandelome´denUrembeer´lξ fond´eesurlam´ethodedeThue–Siegel–Roth–Schmidtfaitg´ene´ralement intervenir une suite(α n ) n≥1 ´dedequesebrila´grbsenemodrobsse´n gre ou bien une suite(x n ) n≥1 der-uplets d’entiers. Dans cet article, nous montronscommentunetellede´monstrationpeutproduireunemesure de transcendance deξ, pour peu que l’on sache quantifier la croissance deshauteursdesnombresalg´ebriquesα n ou des pointsx n dehoaL.te´m de´veloppe´ereposesurl’utilisationd’´enonc´esquantitatifsduthe´ore`me du sous-espace de Schmidt. Nous appliquons ensuite cette nouvelle ap- proche`acertainsnombresnormaux,auxnombresextr´emauxdeRoy, ainsiqu’a`l’e´tudedesnombresr´eelsdecomplexit´esous-lin´eaire.Enpar- ticulier,nouse´tablissonsdesmesuresdetranscendancepourlesnombres re´elsirrationnelsautomatiques.

2000Mathematics Subject Classification : 11J82

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Tabledesmatie`res

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3. Extensionpoe´hme`rBedereka-aqudiuted................plicetapns..atio.

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1. Introduction. . .

2.Leth´eore`medeRothetsesextensions.................................

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R´efe´rences

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3.2. Nombres normaux et classification de Mahler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.1. Extensionp................re......medeBeka....deuqida-`roe´htu

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7

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5.Nombresre´elsdecomplexite´sous-lin´eaire...............................

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4.2.Exposantsd’approximationdiophantienne,nombresextre´mauxdeRoy et classification de Mahler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1.Extensionsmultidimensionnellesduthe´ore`medeBaker.................

9

4.Extensionsmultidimensionnellesduth´eor`emedeBakeretapplications..........

20

6.Lethe´or`emedusous-espacequantitatif................................

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5.3. Applications aux nombres lacunaires, automatiques et sturmiens. . . . . . . . .

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5.2. Exposant diophantien et approximation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5.1.Complexit´edesnombresre´elsetmesuresdetranscendance.............

7.R´esultatsauxiliaires.............................................

23

8.De´monstrationduth´eor`eme3.1.....................................

26

9.De´monstrationsdesth´eor`emes4.1et4.2.................................

34

10.De´monstrationduth´eor`eme5.3.....................................

34

10.1.Combinatoiredessuitesdecomplexite´sous-lin´eaire..................

10.2.Approximationalg´ebriquedesnombresdecomplexit´esous-line´aire.......37

11.Approximationrationnelledesnombresdecomplexit´esous-lin´eaire...........40

12. L’exposant diophantien des mots sturmiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

. . . . . . . . . . . 51

13. Remarques finales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

bibliographiques. . . . . . . . . . .

1. Introduction

Unede´monstrationdel’irrationalit´ed’unnombrer´eelξafisantappel`al’aprpxomitaoin diophantiennemetg´ene´ralementen´evidenceunesuite(p n q n ) n≥1 de nombres rationnels distincts qui converge versξqueavas,`leelrtoi

0<|q n ξ−p n |< δ n (11) ou`(δ n ) n≥1 editomentuessuneopslitisserbee´rleabs0.Ltverndanfstectpanoseeu’lroqs decontroˆlera`lafoislacroissancedelasuite(q n ) n≥1 et la vitesse de convergence de la suite (δ n ) n≥1 ,ladfaenitdueunitrtsnome´orpnoitat´eesmi’rrrudeaniltaoideξ, dans le senso`uellepermetdeconstruired’unemani`erenontrivialeunefonctionΨprenantdes valeurs positives et telle que  ξ−> p q Ψ(q)  pour tout nombre rationnelpqC.´ecoelad’uneulededohte´mneme´le´onefirtarsueed´ l’utilisationd’in´egalit´estriangulaires,laquelle,danslecasparticuliero`uilexisteδ >0 tel queδ n < −δ uo`et q n l limsup o lo g gq q n+1 <+∞(12) n→+∞ n entraˆıne que l’´eontiitaltn’driarxeopas(ξ) deξest fini. Rappelons que(ξ)leengise´d supremumdesnombresr´eelswin´euel’t´egalileqst

ξ− p <q −w  q  possedeuneinfinite´desolutionsrationnellespq. Cette technique, que nous utilisons dans ` lapartie12,permetparexempledemajorerl’exposantd’irrationalite´deζ(2) etζ(3) (voir [25]).Notonscependantquel’approche´el´ementaire`alaquellenousvenonsdefaireallusion garantituniquementlecontrˆoledel’approximationdeξsarembnoesrdpalg´ebriquesdont ledegr´en’exce`depas1+δ. Defa¸consimilaire,unede´monstrationdelatranscendanced’unnombrereelξeed´onf ´ surlame´thodedeThue–Siegel–Roth–Schmidtfaitintervenirunesuite(α n ) n≥1 de nombres alge´briquesdedegre´sborn´esoubienunesuite(x n ) n≥1 derentitsd’uple-tns.ernsDaprlese´e article,nousnousint´eressons`aunege´n´eralisationdelaprobl´emati´ece´dent que pr e en nous demandantsiunetellede´monstrationproduitn´ecessairementunemesuredetranscendance deξashcqeauqueu’lnocroissanntifierlaruetsedsedecuahs´elgiqbrmbnosareuespeurpo, α n ou des pointsx n . Lepremier(et`anotreconnaissanceleseul)re´sultatdanscettedirection,´etablien 1964 par A. Baker [10], donne une mesure de transcendance explicite de tout nombre re´elξpour lequel il existeδ >1 et une suite (p n q n ) n≥1 neondilsdetirae´irafitntsnitcvs q n ≥1, (1.2) et (1.1) avecδ n ≤q n −δ ´dedtnionedtrapeep.Lvuleenonelapprotreestuoche de´monstrationdecere´sultat,beaucoupplussimplequelad´emonstrationoriginale,etquia

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l’avantagedeseprˆetersanstropdedifficult´estechniquesa`desge´ne´ralisationsp-adiques et multidimensionnelles.Notrenouvelleme´thodereposesurl’utilisationd’´enonc´esquantita- tifsissusdelam´ethodedeThue–Siegel–Roth–Schmidt,quenousrappelonsdanslapartie 6.Danscettedirection,lesth´eor`emes3.1,4.1et4.2,ainsiquelecorollaire4.3,appor- tentunere´ponseessentiellementpositivea`laquestionpos´eeci-dessus.Nouspre´sentons quelquesapplicationsdecesre´sultats.Toutd’abord,danslapartie3.2,nousmontrons comment l’extensionpesdreetin’dboemusdrse.Baked’Armeterpeuqidtudeoe´hme`r-a transcendancedenombresnormaux(quisesituent,enuncertainsens,a`l’exactoppose´des nombresdecomplexite´sous-lin´eairedontilestquestionci-dessous)construitsparCham- pernowne[17],DavenportetErdo˝s[19],etparBaileyetCrandall[9].Danslapartie4.2, nousobtenons,commeconsequenced’uneextensionmultidimensionnelleduth´eor`emed’A. ´ Baker,unemesuredetranscendancedesnombresextre´mauxr´ecemmentd´efinisparRoy [49, 50].

Unautreaspectimportantdelam´ethodequenousd´evelopponsestqu’elles’adapte parfaitement`al’´etudedesnombresr´eelsdontled´eveloppementdansunebaseenti`ereest en un certain sens hh simple ii (erifie´dil-sae´n.2)tini5.on:eeslse´rmorbelnsesouxit´mpledeco Lapartie5decetarticleestconsacr´ee`acetteclassedenombresquicontientdenombreux exemplesclassiquesetabondamment´etudie´scommelesnombreslacunaires,lesnombres ` automatiques et les nombres sturmiens. A l’aide d’une versionp-adiqeuudhte´roe`emud sous-espacedeW.M.Schmidt,nousavonsre´cemment´etabli[2]quecesnombressontou bienrationnels,oubientranscendants.Nouspoursuivonscettee´tudeetmontronscomment combinerl’approchede[2]aveccelled´evelopp´eedanslepr´esentarticleafindecontrˆoler laqualite´del’approximationdetoutnombredecomplexit´esous-line´airepardesnombres alge´briquesdedegre´fixe´aumoins´egal`adeuxet,parconse´quent,depr´ecisero`uilsesitue danslaclassificationdeMahler[35],rappele´edanslapartie2.Ainsi,lorsqu’unnombre re´elirrationnelξst-`a-dire,’eenpastnnsubromLedevuoiellie’c(delexicompuo-s´tseaeriil´n lorsquel’exposantd’irrationalite´(ξserunumeossnlbsicen-ransedet)ta´eusno),nitfies dance deξqui implique qu’il s’agit soit d’unS-nombre, soit d’unTebmree.Lobelp`r-nom seram`enedonca`distinguer,parmilesnombresdecomplexite´sous-lin´eaire,lesnombres rationnels ou les nombres de Liouville de ceux qui n’en sont pas. Le fait qu’un nombre estrationnelselite´videmmentsursonde´veloppementdansunebaseenti`ereb, puisque cedernierestalorsultimementpe´riodique.PourdistinguerlesnombresdeLiouville,nous introduisons un exposant combinatoire, l’exposant diophantienmocenueme`rteetpr’sniq,iu mesuredelap´eriodicit´edud´eveloppementdeξen baseb. Notons que des exposants simi- lairesont´et´eintroduitsencombinatoiredesmotsetendynamiquesymbolique,comme l’exposant critique ou l’exposant critique initial (voir par exemple [11]). Nous montrons alorscommentcetexposantpermetdecontrˆolerl’approximationrationnelledesnombres decomplexit´esous-line´aire.Enparticulier,nouse´tablissonsqu’untelnombreestunnom- bre de Liouville si, et seulement si, son exposant diophantien est infini. Nous appliquons ensuitecesr´esulatsauxnombreslacunaires,auxnombressturmiensetauxnombresau- tomatiques.Danschacundecescas,nousdonnonsdescrite`ressimplespourde´terminersi l’exposant diophantien est fini ou non. Nous faisons ainsi un premier pas en direction d’une conjecturedeBeckerende´montrantquetoutnombreautomatiqueirrationnelestsoitun S-nombre, soit unTda’Atdtakiwszemcdnete´icluse´rnu-ne.Ceombr-teaCssiang[e]6fa

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firmant qu’un nombre automatique irrationnel ne peut pa ˆt nombre de Liouville. s e re un Nousg´en´eralisons´egalementunthe´ore`medeBundschuh[15]surlesnombressturmiens.

Remerciements.dlcsleaWiMhcoisnattivoirtd’ahmidoitnettaertone´rurnsreusrcmeNo ´ laquestiontraite´edanscetarticlesuitea`unexpos´edel’undesauteursauGrouped’Etude surlesProble`mesDiophantiensdel’InstitutMathe´matiquesdeJussieu.

2.Lethe´ore`medeRothetsesextensions

Danscettepartie,nousrappelonslethe´ore`medeRoth,ainsiquecertainesdeses ge´n´eralisationsmultidimensionnellese´tabliesparW.M.Schmidt.Nous´enonc¸onse´galement ler´esultatdeBakerquisertdepointdede´part`anotree´tudeetpeutsevoircommele prototypedesr´esultatsquenoussouhaitonsde´montrer. En1955,Roth[48]e´tablitque,commepresquetouslesnombresr´eels,lesnombres r´eelsirrationnelsalge´briquesontunexposantd’irrationalite´e´gala`2.

The´ore`meR.(Roth,1955).Soientξteeelrer´nombunεer´ronbmnusleecirtemettn positif. Supposons qu’il existe une suite infinie(p n q n ) n≥1 oussitcrmeorsfitarede´slenno irr´eductible,ordonn´esdesorteque2≤q 1 < q 2 <   , et tels que, pour toutn≥1, 0< ξ  p n < 2 1 +ε (21) −  q n  q n Alors,ξest un nombre transcendant. En 1964, A. Baker obtint une conclusion pl ´cise que la simple transcendance us pre deξop,uvruleuquiasinteiefinsedeseobts`rparpnnseatiooximtionnsraossellenne,ti uncertainsens,dense.Avantd’´enoncersonthe´ore`me,nousrappelonslaclassificationdes nombresre´elsd´efinieparMahler[35]en1932.Soientd≥1 un entier etξunnmorb.lee´re On notew d (ξse´rmorbeeslprsule)sndeumemwquelrlesin´eslespuoilagse´t 0<|P(ξ)| ≤H(P) −w

sontv´erifi´eesparuneinfinit´edepolynˆomesP(X´eorajntsefficieacoe)`´rmedegesrd,tnei pard. Ici,H(Puahalengise´d)vedeteurna¨ıP(Xvaesurleximamdmu-bas)-aiderelc,e’ts`- solues de ses coefficients. Posant alorsw(ξ) = lim sup d→+∞ (w d (ξ)d), nous disons, suivant Mahler, queξest un

A-nombre, siw(ξ) = 0; S-nombre, si 0< w(ξ)<∞; T-nombre, siw(ξ) =∞etw d (ξ)<∞pour tout entierd≥1; U-nombre, siw(ξ) =∞etw d (ξ) =∞pour un entierd≥1. Uneproprie´t´eessentielledecetteclassificationestquedeuxnombrestranscendantsap- partenant`adesclassesdiffe´rentessontalge´briquementinde´pendants.LesA-nombres sont

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