Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la metrique hyperbolique

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Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la metrique hyperbolique Erwann DELAY? Universite de Nice-Sophia Antipolis Resume. Sur la boule unite de Rn, on considere la metrique hyperbolique standard H0, dont la courbure de Ricci vaut R0 et la courbure de Riemann-Christoffel vaut R0. Nous montrons que, pour tout tenseur symetrique R voisin de R0, il existe une unique metrique H voisine de H0 dont la courbure de Ricci vaut R. Nous en deduisons, dans le cadre C∞, que l'image de l'operateur de Riemann-Christoffel est une sous- variete au voisinage de R0. Enfin, nous etudions plus precisement l'equation de Ricci en dimension 2. Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric Abstract. On the unit ball of Rn, one considers the standard hyperbolic metric H0 whose Ricci cur- vature equals R0 and Riemann-Christoffel curvature is R0. We prove that, for any symetric tensor R near R0, there exists a unique metric H near H0 whose Ricci curvature is R. We deduce in the C∞ case that the image of the Riemann-Christoffel operator is a submanifold in a neighborhood of R0. Finally, we study more precisely the Ricci equation in dimension 2. Considerons une variete Riemannienne munie d'une metrique H. Pour p et q entiers naturels, nous noterons T qp , l'ensemble des tenseurs covariants de rang p et contravariants de rang q.

courbure de ricci

unique solution

espace ?

ricci

voisinages de zero

image de l'operateur de riemann-christoffel

graphe de l'application de imd?

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Prescription de la courbure de Ricci au voisinage de la me´triquehyperbolique

∗ Erwann DELAY

Universit´edeNice-SophiaAntipolis

n Re´sum´e.e´eduboaellrnuuStiRo,erelam´enconsid`brepqiloqirtyheurdstuedaanH0, dont la courbure de Ricci vautR0et la courbure de Riemann-Christoﬀel vautR0. Nousmontrons que, pour tout tenseur sym´etriqueRvoisin deR0i,elixtsueenm´ueiqunequrietHvoisine deH0dont la courbure de Ricci vaut ∞ Rrelsnadaceosiud,sn.oN´ddesuneCiml’edague,q-suosenutselhristoﬀeiemann-CtauedrReleo’´pre vari´ete´auvoisinagedeR0.n2ionsmentis´equatl’´eRecioidnidemicner´eclusponsptudisue´,nonE.ﬁn

Prescription of the Ricci curvature in the neighborhood of the hyperbolic metric

n Abstract.On the unit ball ofR, one considers the standard hyperbolic metricH0whose Ricci cur-vature equalsR0and Riemann-Christoﬀel curvature isR0prove that, for any symetric tensor. WeRnear ∞ R0, there exists a unique metricHnearH0whose Ricci curvature isR. Wededuce in theCcase that the image of the Riemann-Christoﬀel operator is a submanifold in a neighborhood ofR0. Finally,we study more precisely the Ricci equation in dimension 2.

Conside´ronsunevari´et´eRiemanniennemunied’unem´etriqueH. Pourpetqentiers naturels, q nous noteronsT, l’ensemble des tenseurs covariants de rangpet contravariants de rangq. Lorsque p q= 0 etp= 2, nous noteronsS2euqsrtqicsniiuesdeenluosese-secapstdeseenssur´eymS2= H ⊕ S20,o`uHsont les multiples deHetS20a`parrtropllnupae(eeuttxcdcoenrasH). Toutcomme[3],nousutiliseronslesope´rateursdiv,RiccietBian; nous noterons de plusRiem l’op´erateurdeRiemann-Christoﬀel,Scall’´eopteracourruubercslaiaerte4le laplacien brut. n SoitBaldeeet´inueluobRdeieun(mnestdienrdandateiral´mcuiluqeeE), soitρla fonction 1 2−2 d´eﬁniesurBparρ(x) =(1− |x|) et soitH0=ρ Ela metrique hyperbolique standard surB. 2 Eng´en´eral,H=H0+hseruirduqenuate´mise´rengBvoisine deH0. Dansle cas particulier ou`H=H0(i.e.htnedessetnoridnieec´arspDe0.elnstotaoisnte´deﬁnitionspr´ec´e=0esutto), plus nous noteronsR0=Ricci(H0) =−(n−1)H0etR0=Riem(H0).

1 Courburede Ricci prescrite Pourr∈ S2voisinde 0, on chercheh∈ S2voisinde 0 tel que Ricci(H0+h) =R0+r. ∗ Moniteur-Allocataire MENESR 94-97, A.T.E.R. 97-98

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