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PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT

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PROBLEMES INVERSES POUR L'ENVIRONNEMENT 25 7. Estimation de parametres dans un systeme d'EDO On suppose que l'equation d'etat (qui modelise l'evolution du systeme) est un systeme d'equations differentielles ordinaires (EDO) : { dyi dt = fi(t, y, a), yi(0) = y0i, pour i = 1, . . . , N , et ou on note y = (y1, . . . , yN ) et a = (a1, . . . , ak) ? Rk. L'integration du systeme d'EDO permet de calculer les solutions yi(a, t) pour t ≥ 0. On suppose qu'on dispose d'observations a certains instants : yi(tj), j = 1, . . . ,M . On note yobsi,j la valeur observee (ou mesuree) de la solution yi a l'instant tj . Le but est d'estimer les parametres a a partir des observations. La formulation par moindres carres consiste a definir la fonctionnelle suivante : J(a) = 1 2 M∑ j=1 N∑ i=1 [yi(a, tj)? y obs i,j ] 2 Le probleme d'identification peut ainsi se reecrire sous la forme du probleme d'optimisation suivant : on cherche a tel que J(a) = inf a?K J(a) ou K est l'ensemble des parametres a admissibles.

  • aij

  • aij etant

  • algorithme de gradient

  • systeme d'edo

  • parametres

  • norme choisie pour la regularisation dependra de l'espace considere

  • dt


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` PROBLEMES INVERSES POUR L’ENVIRONNEMENT25 7.sunssdanemedyst`EODEsmatinoitaped`marerte Onsupposequel´equationde´tat(quimode´lisel´evolutiondusyst`eme)estun syst`emede´quationsdi´erentiellesordinaires(EDO): ( dyi =fi(t, y, a), dt yi(0) =y0i, k pouri= 1, . . . , Nnotoen`uto,ey= (y1, . . . , yN) eta= (a1, . . . , ak)R. Lint´egrationdusyste`medEDOpermetdecalculerlessolutionsyi(a, t) pourt0. Onsupposequondisposedobservationsa`certainsinstants:yi(tj),j= 1, . . . , M. obs On noteyasel)deer´sumeou(ee´vresboruelavlaoinlotuyiisn`latanttj. Le but i,j estdestimerlesparame`tresarvseobes.nsioat`itdrpara Laformulationparmoindrescarr´esconsistea`d´enirlafonctionnellesuivante: M N X X 1 obs2 )y] J(a) =[yi(a, tj i,j 2 j=1i=1 Leproble`medidenticationpeutainsiser´e´ecriresouslaformeduprobl`eme d’optimisation suivant : on cherche ˆatel que J(ainfˆ) =J(a) aK ou`Ksee`rtltsembleensearamdespaadmissibles. 7.1..eriCliasean´usnOsoppeuqelesmod`elesfiepdnneltnie´iaersedtnde´meyj etdesparame`tresa: N X fi(t, y, a) =aijyj(t), j=1 o`ulesaijsont:uiesntvaysesemt`danOlcnonrob.se´ N X dyi =aijyj(t), dt j=1 yi(0) =y0i, quonpeutr´ee´criresousformematricielle: dY =AY, Y(0) =Y0 dt ou`lamatriceAa pour cœfficients les (aij). At La solution est doncY(t) =e Y0, etYpeneddnoccnoitˆnu´mdentdeA. Les aijniaeodamislbmdsie´naterobtse´npno,tseupouprqseleueKest un compact de k R. Alors le minimum deJinut´tic´cronemeismasfpateise(ncisexee)xdnua,ote jeudeparam`etresoptimaux. On doit maintenant calculer le gradient deJ`aportrrappaa. ∂Y ˜ 7.1.1.edidteoh´Mtcer.eOn noteYij=l´eadv´rieeedYaundespraarppro`t ∂aij param`etresaijals,ionaleltdgiraP.itine´dqeaumitidnεtend vers 0 de Y(A+εKij)Y(A) , ε